复 定理34设{an}是收敛数列,则其有界,即 变在在ME0,使得a1SM(m=1,2…) 数与积分变换 定理35设∑an和∑都是绝对收敛级数, H=1 令 yn=c1Bn+a2Bn2+…+anB1(n=1,2,3,…), 则级数∑yn绝对收敛,并且 ∑v=|∑an∑B =1
定理3.4 设 n 是收敛数列，则其有界, 即 存在M>0, 使得 ( 1,2,3, ). n = M n 定理3.5 设 和 都是绝对收敛级数, 1 n n = 1 n n = 令 1 2 2 1 ( 1, 2, 3, ), n n n n = + + + = − n 则级数 绝对收敛, 并且 1 n n = 1 1 1 . n n n n n n = = = =
复变函数与积兮变换 §32幂级数 1幂级数的概念 2幂级数的敛散性 3幂级数的性质
1 幂级数的概念 2 幂级数的敛散性 3 幂级数的性质 §3.2 幂 级 数
3.21幂级数的概念 复变面数与积 设{f(是定义在区域D上的复变函数列, 称 ∑f,(z)=f1(z)+f1(z)+…+fn(z)+ 变 换复变函数项级数 Sn(z)=f1(x)+∫2(x)+…+fn(x) 为该级数前n项的部分和
为复变函数项级数. 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n f z f z f z f z = = + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 S z f z f z f z n = + ++ n 为该级数前n项的部分和. 设 f z n ( ) 是定义在区域D上的复变函数列, 称 3.2.1 幂级数的概念
如果对石n∈D,级数∑f(z)收敛,即 复变函数与积分变一 limS, (zo=s(zo), 5则称级数∑(z)在点收敛,且S(n)是级数和 如果级数∑f(x)在D内处处收敛,则称其在 换区域D内收敛此时级数的和是函数 S(z)=f1(z)+f2(x)+…+∫(x)+ 称为该级数在区域D上的和函数
S(z) = f1 (z) + f2 (z) ++ fn (z) + 称为该级数在区域D上的和函数. 如果对 z D 0 , 级数 0 收敛, 即 1 ( ) n n f z = 0 0 lim ( ) ( ), n n S z S z → = 则称级数 在 点收敛, 且 是级数和. 1 ( ) n n f z = 0 z 0 S z( ) 如果级数 在D内处处收敛, 则称其在 1 ( ) n n f z = 区域D内收敛. 此时级数的和是函数
当∫n(x)=Cn1(z-x)或f(z)=Cn1z”时, 复变面数与积 函数项级数的形式为 >e,(z-a)"=Co+c(z-a)+c2(-a)2+ 么 …+Cn(z-a)+… 变或zn=0的特殊情形 换 n Cn+c1z十C2z 0 十…+C.z十 这类函数项级数称为幂级数
2 0 1 2 0 ( ) ( ) ( ) n n n c z a c c z a c z a = − = + − + − + 2 0 1 2 1 , n n n n n c z c c z c z c z = = + + + + + 这类函数项级数称为幂级数. 当 或 时, 1 1 0 ( ) ( )n n n f z c z z − = − − 1 1 ( ) n n n f z c z − = − 或 z0 = 0 的特殊情形 函数项级数的形式为 ( ) , n n + + − + c z a