例32求级数∑的和函数与收敛半径 H=0 复变函数与积分变一 解Sn=1+z+z2+…+z"-1 (z≠1 <1 m 级数∑z"收敛, n→0 z≥1=mz”≠0级数∑"发散 所以收敛半径R=,在团<1内,级数∑ 绝对收敛,且有 ao ∑ n=1
解 2 1 1 1 ( 1). 1 n n n z S z z z z z − − = + + + + = − z 1 1 lim 1 n n S → z = − 级数 n=0 n z 收敛, z 1 lim 0 → n n z 级数 n=0 n z 发散. 绝对收敛, 且有 在 z 1 内, 级数 n=0 n z 例3.2 求级数 的和函数与收敛半径. 0 n n z = 所以收敛半径 R = 1, 1 1 . 1 n n z z = = −
例3.3对任何复数z,级数 复变函数与积兮变换 (1)1+z+。+…+ˇ+… 2! (2)1 +…+(-1) 十∴ (2n)! 2n+1 (3)乙-°+…+(-1) 十 3 (2n+1) 都绝对收敛,即它们的收敛半径R=+0 事实上,容易验证,z取任意正实数时,它们均 绝对收敛
例3.3 对任何复数z, 级数 2 (1) 1 ; 2! ! n z z z n + + + + + 2 2 (2) 1 ( 1) ; 2! (2 )! n z z n n − + + − + 3 2 1 (3) ( 1) 3! (2 1)! n z z n z n + − + + − + + 都绝对收敛，即它们的收敛半径 R = +. 事实上, 容易验证, z取任意正实数时, 它们均 绝对收敛
例34讨论级数∑《和∑的收敛性 nE nE n 复变函数与积分变换 n 解级数∑“在z=-1点收敛,但在z=1 利点,级数∑乙发散 n=1 n 因此级数∑的收敛半径R=1 经过较为复杂的讨论可知,当z=1,z≠1时, ⑦级数∑力都收敛
例3.4 讨论级数 和 的收敛性. 1 n n z n = 2 1 n n z n = 解 级数 在 点收敛, 但在 1 n n z n = z = −1 z = 1 经过较为复杂的讨论可知, 当 z z = 1, 1 时, 级数 都收敛. 1 n n z n = 1 n n z n = 因此级数 的收敛半径 R = 1. 点, 级数 发散. 1 n n z n =
复变面数与积 显然级数∑在=1上处处绝对收敛 n=1 但当z=1+5(6>0)时, lim (1+) =+0 么 n 变因此当z=1+8时,级数∑乙发散 换 因为δ>0是任意的,故当|z>1时,级数 ∑处处发散.所以,收敛半径为R=1. n-=1
显然, 级数 在 上处处绝对收敛 . 2 1 n n z n = z = 1 但当 z = + 1 ( 0) 时, (1 ) lim . n n n → + = + 因此当 z = +1 时, 级数 发散. 2 1 n n z n = 因为 0 是任意的, 故当 z 1 时, 级数 2 1 n n z n = 处处发散. 所以, 收敛半径为R = 1
复收敛半径的计算方法() 变函数与积分变换 定理37(比值法)设级数∑cnz"如果 lim n2+1 n→0 (1)当λ=0时,收敛半径R=+0; (2)当=+∞时,收敛半径R=0 (3)当0<4<+∞0时,收敛半径R=
收敛半径的计算方法(一) (3) 当 时, 收敛半径 . 1 0 + R = 1 lim , n n n c c + → = R = +; (1) 当 = 0 时, 收敛半径 (2) 当 = + 时, 收敛半径 R = 0; 定理3.7 (比值法) 设级数 如果 0 . n n n c z = 则