复级数收敛的必要条件 变函数与 推论31如果级数∑an收敛,则iman=0 n=1 证明由定理32及实数项级数收敛的必要 积条件iman=0,imb,=0知, lim an=0 n→0 n→0 么 责重要结论:ma≠0=∑a发散 换 n=1 于是在判别级数的敛散性时,可先考察 lima.号0
级数收敛的必要条件 lim 0. n n → 推论3.1 如果级数 收敛, 则 = 1 n n = 证明 由定理3.2及实数项级数收敛的必要 条件 lim 0, lim 0 知, n n n n a b → → = = lim 0. n n → = 重要结论: 发散. 1 lim 0 n n n n → = 于是在判别级数的敛散性时, 可先考察 lim 0. n n → = ?
定义3设∑an是复数项级数,如果正项 复变函数与积兮变换 函级数∑al收敛,则称级数∑an绝对收敛 非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数 分绝对收敛级数的性质 定理33若级数∑α绝对收敛,则它收敛, H=1 并且 ∑ans∑an
非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数. 定义3.3 设 是复数项级数, 如果正项 1 n n = 级数 收敛, 则称级数 绝对收敛. 1 n n = 1 n n = 绝对收敛级数的性质 定理3.3 若级数 绝对收敛, 则它收敛, 1 n n = 并且 1 1 . n n n n = =
复 证明由于an,1n|≤√a2+b2=1an而 变 级数∑收敛由正项级数收敛的比较判别法 5知∑1和∑|收敛从而∑n和∑绝对 积 n=1 =1 n=1 么 oo 变收敛,故收敛因此级数∑a收敛 换 因为∑叫∑所以 ∑a m∑a=∑|ak n→ n→0 =1 k:
证明 由于 而 2 2 , , n n n n n a b a b + = 级数 收敛, 由正项级数收敛的比较判别法, 1 n n = 知 和 收敛. 从而 和 绝对 1 n n a = 1 n n b = 1 n n a = 1 n n b = 收敛, 故收敛. 因此级数 收敛. 1 n n = 因为 所以 1 1 , n n k k k k = = 1 1 1 1 lim lim . n n k k k k n n k k k k → → = = = = = =
补充因为|an=Va+b2≤|an+b,所以 复变数与 ∑a=∑√n2+b2≤∑a+∑b =1 因此,如果∑和∑都绝对收敛时,∑a也 么 变绝对收敛 综上可得: ∑an绝对收敛兮∑a和∑b都绝对收敛 H=1 n
补充 因为 所以 2 2 , n n n n n = + + a b a b 2 2 1 1 1 1 . n n n n k k k k k k k k k a b a b = = = = = + + 综上可得: 因此, 如果 和 都绝对收敛时, 也 1 n n a = 1 n n b = 1 n n = 绝对收敛. 1 n n = 绝对收敛 和 都绝对收敛. 1 n n a = 1 n n b =
复变面数与积 例31级数∑(+1是否绝对收敛? 解因为 n ∑ ∑ 么 n=I h 2 = 变都收敛,故原级数收敛但是级数 换 ∑ (-1) 条件收敛,所以原级数非绝对收敛,是条件收敛的
都收敛, 故原级数收敛. 但是级数 条件收敛, 所以原级数非绝对收敛, 是条件收敛的. 解 因为 例3.1 级数 是否绝对收敛? 1 ( 1) 1 2 n n n i n = − + 1 1 ( 1) 1 , 2 n n n n n = = − 1 ( 1)n n n = −