第八节 第十一章 般周期的妈飘的傅里叶級 以2l为周期的函数的 傅里叶展开 二、傅里叶级数的复数形式 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
第八节 一般周期的函数的傅里叶级数 一、以2 l 为周期的函数的 傅里叶展开 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、傅里叶级数的复数形式 第十一章
以2l为周期的函数的傅里叶展开 周期为2l函数f(x) 变量代换z 元x 周期为2π函数F(z) 将F()作傅氏展开 f(x)的傅氏展开式 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、以2 l 为周期的函数的傅里叶展开 周期为 2l 函数 f (x) 周期为 2 函数 F(z) 变量代换 l x z = 将F(z) 作傅氏展开 f (x) 的傅氏展开式 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理设周期为2l的周期函数f(x满足收敛定理条件, 则它的傅里叶展开式为 f(x)=0 1丌x 1丌x a. cos tb sin n=1 (在f(x)的连续点处) 其中 1丌x (x)cos-r"dx(n=0,1,2,…) nX f(xsin dx(n=1,2,…) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件, 则它的傅里叶展开式为 (在 f (x) 的连续点处) an = x l n x f x l b l l n ( )sin d 1 − = 其中 定理. l 1 x l n x f x l l ( )cos d − (n = 0,1, 2, ) (n =1, 2, ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
证明:令z ,则x∈[-1,1]变成z∈[-丌,丌 x 令F(z)=f(x)=∫ 则 lz F(x+2丌)=f( (z+2丌 f(-+21) f()=F(z) 所以F()是以2π为周期的周期函数,且它满足收敛 定理条件,将它展成傅里叶级数 F(2)=0+2(an cosnz+bn sin nz n=1 (在F()的连续点处) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
证明: 令 l x z = , 则 令 ( ) , lz = f 则 ) ( 2 ) ( 2 ) ( + + = l z F z f ( 2l ) lz = f + ( ) lz = f 所以 且它满足收敛 定理条件, 将它展成傅里叶级数: ( 在 F(z) 的连续点处 ) f (x) 变成 是以 2 为周期的周期函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束
In=I F()cos=(n=0,1,2 其中 I F(z)sinned (n=1,2,3,… 1兀x f(xcos dx(n=0,122 1丌x xsin dx(n=1,2,3 1丌x f(x)=2+2( +b sin (在f(x)的连续点处)证毕 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
a F z nz z n ( )cos d 1 − = 其中 b F z nz z n ( )sin d 1 − = 令 l x z = l an 1 = x l n x f x l b l l n ( )sin d 1 − = (n = 0,1, 2, ) (n =1, 2, 3, ) (n = 0,1, 2, ) (n =1, 2, 3, ) ( 在 f (x) 的 连续点处 ) x l n x f x l l ( ) cos d − 证毕 机动 目录 上页 下页 返回 结束