第二节 第十一章 常飘项級飘的审敛 、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其申敛法 三、绝对收敛与条件收敛 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 第二节 一、正项级数及其审敛法 常数项级数的审敛法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一章
正项级数及其审敛法 若un≥0,则称∑ln为正项级数 定理1正项级数∑v收敛 部分和序列 (n=1,2,…)有界 让: 若∑1收敛,则{Sn}收敛,故有界 ln≥0,∴部分和数列{S}单调递增, 又已知{Sn}有界,故{Sn}收敛,从而∑也收敛 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、正项级数及其审敛法 若 0, un n=1 un 定理 1. 正项级数 收敛 部分和序列 有界 . 若 收敛 , ∴部分和数列 又已知 有界, 故 从而 故有界. 则称 为正项级数 . 单调递增, 收敛 , 也收敛. 证: “ ” “ ” 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理2比较审敛法)设∑ln,∑vn是两个正项级数 且存在N∈Z+,对—切n>N,有n≤kvn(常数k>0) 则有 (1)若强级数∑收敛,则弱级数∑n也收敛; (2)若弱级数∑n发散,则强级数∑v也发散 n=1 证:因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨 设对一切n∈Z+,都有ln≤kvn 令Sn和n分别表示弱级数和强级数的部分和,则有 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
都有 定理2 (比较审敛法) 设 且存在 对一切 有 (1) 若强级数 则弱级数 (2) 若弱级数 则强级数 证: 设对一切 则有 收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散 . 分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有 是两个正项级数, (常数 k > 0 ), 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨 机动 目录 上页 下页 返回 结束
s<k (1)若强级数∑v收敛则有a=iman n→00 因此对一切n∈Z+,有 ka 由定理1可知弱级数∑n也收敛 n (2)若弱级数∑vn发散则有 lim s=∞ n→0O 因此imσn=O,这说明强级数∑V也发散 n→0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
(1) 若强级数 则有 因此对一切 有 由定理 1 可知, (2) 若弱级数 则有 因此 这说明强级数 也发散 . 也收敛 . 发散, 收敛, 弱级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.讨论p级数1+ 2P2D+…+n+…(常数p>0) 的敛散性 解:1)若p≤1,因为对一切n∈Z 1 而调和级数∑发散,由比较审敛法可知级数∑ niNe 发散 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 讨论 p 级数 + p + p ++ p + n 1 3 1 2 1 1 (常数 p > 0) 的敛散性. 解: 1) 若 p 1, 因为对一切 而调和级数 =1 1 n n 由比较审敛法可知 p 级数 n 1 发散 . 发散 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束