第六节 第十一章 数顶級的一致收敛性 及一敌收敛数的基本性质 函数项级数的一致收敛性 二、一致收敛级数的基本性质 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
函数项级数的一致收敛性 *第六节 一、函数项级数的一致收敛性 及一致收敛级数的基本性质 二、一致收敛级数的基本性质 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一章
函数项级数的一致收敛性 幂级数在收敛域内的性质类似于多项式,但一般函数 项级数则不一定有这么好的特点 例如,级数 3 x+(x--x)+(x-x-)+∴+(x-x 每项在[0,1上都连续,其前n项之和为Sn(x)=x 和函数S(x)= lim s(x) 0<x<1 n→0 X 该和函数在x=1间断 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、函数项级数的一致收敛性 幂级数在收敛域内的性质类似于多项式, 但一般函数 项级数则不一定有这么好的特点. 例如, 级数 x + (x 2 − x) + (x 3 − x 2 ) ++ (x n − x n−1 ) + 每项在 [0,1] 上都连续, 其前 n 项之和为 ( ) , n n S x = x 和函数 = = → S(x) lim S (x) n n 0, 0 x 1 1, x =1 该和函数在 x＝1 间断. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
sinx sin 2-x sinn x 又如,函数项级数 因为对任意x都有: sinn x 所以它的收敛域为(-∞,+∞),但逐项求导后的级数 cOsx+C0s22x+……+cosn2x+ 其一般项不趋于0,所以对任意x都发散 问题:对什么样的函数项级数才有 逐项连续 和函数连续 逐项求导=和函数求导;逐项积分=和函数积分 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
因为对任意 x 都有: ( 1,2, ) sin 1 2 2 2 n = n n n x 所以它的收敛域为 (－∞, +∞) , 但逐项求导后的级数 cos x + cos 2 2 x ++ cos n 2 x + 其一般项不趋于0, 所以对任意 x 都发散 . 又如, 函数项级数 问题: 对什么样的函数项级数才有: 逐项连续 和函数连续; 逐项求导 = 和函数求导; 逐项积分 = 和函数积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义设S)为∑n(x)在区间/上的和函数若对 任意给定的E>0都有一个只依赖于B的自然数N,使 当n>N时对区间Ⅰ上的一切x都有 In(x)=S(x)Sn(x)<e 则称该级数在区间上一致收敛于和函数S(x) 显然,在区间I上 ∑un(x)-致收敛于和函数S(x) 部分和序列Sn(x)-致收敛于S(x) 余项rn(x)-致收鲛于0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定义. 设 S(x) 为 ( ) 1 u x n n = 若对 都有一个只依赖于 的自然数 N , 使 当n > N 时, 对区间 I 上的一切 x 都有 r (x) = S(x) − S (x) n n 则称该级数在区间 I 上一致收敛于和函数S(x) . 在区间 I 上的和函数, 任意给定的 > 0, 显然, 在区间 I 上 ( ) 1 u x n n = 一致收敛于和函数S(x) 部分和序列 S (x) n 一致收敛于S(x) 余项 r (x) n 一致收敛于 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束
几何解释:(如图) VE>0.,3N∈Z,当n>N时,S(x)-Sn1(x)<E表示 曲线y=Sn(x)总位于曲线y=S(x)-E与y=S(x)+E 之间 y=S(x)+8 S(x y=S(x)-8 x HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
几何解释 : (如图) y = S(x) + y = S(x) − I x y = S(x) 0, , + N Z 当n > N 时, S(x) − Sn (x) 表示 曲线 总位于曲线 y = S(x) −与y = S(x) + y S (x) = n y S (x) = n 之间. 机动 目录 上页 下页 返回 结束