第七节 第十一章 傳里叶數 三角级数及三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数和余弦级数 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
第七节 一、三角级数及三角函数系的正交性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数和余弦级数 第十一章 傅里叶级数
三角级数及三角函数系的正交性 简单的周期运动:y=Asin(Ot+φ)(谐波函数) (A为振幅,O为角频率,g为初相) 复杂的周期运动:y=Ao+∑ A. sir(mt+qn) (谐波迭加) An sin on cosnat+ An cos on sin not 7=A0, an=An sin n, 6n= An cos pn Ot=x 得函数项级数2+∑( an cosnx+binx k=1 称上述形式的级数为三角级数 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、三角级数及三角函数系的正交性 简单的周期运动 : (谐波函数) ( A为振幅, 复杂的周期运动 : A n t A n t n sinn cos + n cosn sin 令 sin , an = An n cos , bn = An n 得函数项级数 ( cos sin ) 2 1 0 a nx b nx a n n k + + = 为角频率, φ为初相 ) (谐波迭加) 称上述形式的级数为三角级数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理1.组成三角级数的函数系 1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,……, cos nr, Sinx, 在[-x,上正交,即其中任意两个不同的函数之积在 -丌,丌]上的积分等于0 证:「1 cosnxdx=1 sin ndx=0(m=1,2,) cos kx cos nxdx cooo+x+okm)x」 ∫"cos(k+m)x+cos(k-n)x]dx=0(≠n) 同理可证: sin kx sin nx dx=0(k≠n) cos kx sinnxdx=o HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
cos(k n)x cos(k n)x d x 2 1 = + + − − 定理 1. 组成三角级数的函数系 证: − 1 cos nxd x = − 1 sin nxd x = 0 cos kx cos nxdx − = 0 sin sin d = 0 − kx nx x 同理可证 : 正交 , 上的积分等于 0 . 即其中任意两个不同的函数之积在 cos sin d = 0 − kx nx x (k n ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在[丌,] 上的积分不等于0.且有 1ldx=2兀 丌 cos nx dx=丌 (n=1,2,…) sin2nxdx=丌 1+cos 2nx 1-cos 2nx cos nx= Sin nx HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
上的积分不等于 0 . 11d = 2 − x sin nxdx 2 − cos n xdx 2 − , 2 1 cos 2 cos2 nx nx + = 2 1 cos 2 sin2 nx nx − = 且有 = = 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、函数展开成傅里叶级数 定理2.设f(x)是周期为2π的周期函数,且 C f(x)=+>(an cos nx +bn sinx) 右端级数可逐项积分,则有 ∫f(x) cos nx dx(m=0,1,…) b f(r)sin ndx (n 证:由定理条件,对①在[-兀,丌逐项积分,得 f(x)do ao「dx+ 2an,fcos nx dx+bn, sin nx dx HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
二、函数展开成傅里叶级数 定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且 ( cos sin ) 2 ( ) 1 0 a nx b nx a f x n n n = + + = 右端级数可逐项积分, 则有 证: 由定理条件, + = + − − =1 − − 0 d cos d sin d 2 ( ) n n n x a nx x b nx x a f x dx ① ② 对①在 逐项积分, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束