米第十节 第十二章 欧拉方程 欧拉方程 +p1 n-1,(n-1) +pny=f(x) (Pk为常数) 令x=e,即t=lnx 常系数线性微分方程 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十节 欧拉方程 欧拉方程 ( ) 1 1 ( 1) 1 ( ) x y p x y p x y p y f x n n n n n n + + − + = − − ( 为常数) pk , t 令 x = e 常系数线性微分方程 即t = ln x 第十二章
欧拉方程的算子解法: x"y)+n1xn-y如n)+…pn1xy+pny=f(x) 令x=e1,则t=1nx,则 dy ddt ld d dx dt dx x dt xy dt d,1dy、dt1;d2yd dx2 dt x dt dx dt dt d-y dy y dt dt 计算繁 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
欧拉方程的算子解法: ( ) 1 1 ( 1) 1 ( ) x y p x y p x y p y f x n n n n n n + + − + = − − , t 令 x = e 则 = x y d d x t t y d d d d t y x d 1 d = = 2 2 d d x y x t t y t x d d ) d 1 d ( d d ( ) t y t y x d d d 1 d 2 2 2 = − 计算繁! t y x y d d = t y t y x y d d d d 2 2 2 = − 机动 目录 上页 下页 返回 结束
记D d d .(k=2,3,…,则由上述计算可知 D d Dy=D(D-Dy 用归纳法可证xy6=D(D-1)…(D-k+1)y 于是欧拉方程 n-1,(n-1) Pm-jxy+pny=f(x) 转化为常系数线性方程 Dy+6,d"y+.+bny=f(e) d +61 +…+bny=f(e d t d t HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
, d d t 记 D = 则由上述计算可知: x y = Dy x y = D y − Dy 2 2 ( 2, 3, ), d d = k = t D k k k = D(D −1)y 用归纳法可证 x y D D D k y k k ( 1) ( 1) ( ) = − − + 于是欧拉方程 ( ) 1 1 ( 1) 1 ( ) x y p x y p x y p y f x n n n n n n + + − + = − − ( ) 1 1 t n n n D y + b D y + + b y = f e − 转化为常系数线性方程: ( ) d d d d 1 1 1 t n n n n n b y f e t y b t y + + + = − − 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.求方程x2y”-2xy+2y=ln2x-2lnx的通解 解:令x=e,则t=lnx,记D d 则原方程化为 d t D(D-1)y-2Dy+2y=t2-21 即(D2-3D+2)y=t2-2t 亦即 d 2y=t-2t dt dt 特征方程r2-3+2=0,其根n=1,n=2, 则①对应的齐次方程的通解为 Y=Ce+c 2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 解: 则原方程化为 亦即 其根 则①对应的齐次方程的通解为 特征方程 ① 机动 目录 上页 下页 返回 结束
设特解:y*=At2+Bt+C 代入①确定系数,得 +-t+ 224 ①的通解为 y=Ce+C2e2+12+t+ 4 换回原变量,得原方程通解为 y=Cx+C2x+In x+Inx+ HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
① 的通解为 换回原变量, 得原方程通解为 设特解: y = At + Bt +C 2 代入①确定系数, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束