第四节 第十一章 西数展开成幂级数 两类问题:在收敛域内 暴级数∑anx,求和 和函数S(x) n=0 展开 本节内容: 、泰勒( Taylor)级数 二、函数展开成幂级数 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
第四节 两类问题: 在收敛域内 和函数 求 和 展 开 本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一章
泰勒( Taylor)级数 若函数f(x)在x0的某邻域内具有n+1阶导数,则在 该邻域内有 f(x)=f(o)+f(xo(x-xo)+ (o(x-so n) (x-x0)”+Rn(x 此式称为f(x)的n阶泰勒公式,其中 R,(= (x-x0)”+(在x与x之间) (n+1) 称为拉格朗日余项 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、泰勒 ( Taylor ) 级数 f (x) = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x − n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) ++ − R (x) + n 其中 Rn (x) = ( 在 x 与 x0 之间) 称为拉格朗日余项 . 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) + + − + n n x x n f 若函数 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 , 该邻域内有 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束
若函数f(x)在x0的某邻域内具有任意阶导数,则称 f(x0)+f(x0(x-x0)+ 0 ∴ (x-x0)2+ 为f(x)的泰勒级数 当xo=0时,泰勒级数又称为麦克劳林级数 待解决的问题 1)对此级数,它的收敛城是什么? 2)在收敛域上,和函数是否为f(x)? HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x − ++ − n + n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) 为f (x) 的泰勒级数 . 则称 当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 . 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ? 待解决的问题 : 若函数 的某邻域内具有任意阶导数, 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理1.设函数f(x)在点x的某一邻域∪(xo)内具有 各阶导数则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是f(x)的泰勒公式中的余项满足: lim r(x)=0. n→> 证明:f(x)=∑ x-x0)”,x∈U(xo) n! (k) ff( k X X-x k=0 k! f(x)=Sn+(x)+Rn( lim R((x)=limn[f(x)-Sn+1(x)]=0,x∈∪(xo) n→)0 n→> HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定理1 . 各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: lim ( ) = 0. → R x n n 证明: ( ) , ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) n n n x x n f x f x = − = 令 ( ) ( ) ( ) 1 f x S x R x = n+ + n = → lim R (x) n n lim ( ) ( ) 1 f x S x n n + → − = 0 , ( ) 0 x x k n k k n x x k f x S x ( ) ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) 1 = − = + ( ) 0 x x 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理2.若f(x)能展成x的幂级数,则这种展开式是 唯一的,且与它的麦克劳林级数相同 证:设f(x)所展成的幂级数为 f(x)=a0+a1x+a2x2+…+ n x∈(-R,R) 则 ao=f(O) f(x)=a1+2a2x+…+nanx+…;a1=f(0 f"(x)=2!a2+…+m(n-1)anx”2+…;a2=2f"0 f(x=nlan+ 显然结论成立 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定理2. 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是 唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同. 证: 设 f (x) 所展成的幂级数为 则 ( ) 2 ; 1 f x = a1 + a2 x ++ nan x n− + (0) 1 a = f ( ) 2! ( 1) ; 2 f x = a2 ++ n n − an x n− + (0) 2! 1 2 a = f ( ) ! ; f (n) x = n an + (0) ( ) ! 1 n n n a = f 显然结论成立 . (0) 0 a = f 机动 目录 上页 下页 返回 结束