第三节 第十一章 幂级数 函数项级数的概念 幂级数及其收敛性 幂级数的运算 HIGH EDUCATION PRESS 0 机动目录上下返回结束
第三节 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 幂级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一章
函数项级数的概念 设un(x)(n=1,2,…)为定义在区间I上的函数,称 ∑un(x)=1(x)+2(x)+…+un(x)+ 为定义在区间I上的函数项级数 对x0∈I,若常数项级数∑ln(x)收敛,称x为其收 n=1 敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域 若常数项级数∑n(xo)发散,称x0为其发散点,所有 发散点的全体称为其发散域 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下返回结束
一、 函数项级数的概念 设 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n u x u x u x u x 为定义在区间 I 上的函数项级数 . 对 I , x0 若常数项级数 1 0 ( ) n n u x 敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ; 若常数项级数 1 0 ( ) n n u x 为定义在区间 I 上的函数, 称 收敛, 发散 , 所有 0 称 x 为其收 0 称x 为其发散点, u (x) (n 1,2,) n 发散点的全体称为其发散域 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
在收敛域上,函数项级数的和是x的函数S(x),称它 为级数的和函数,并写成 (x)=∑ln 若用Sn(x)表示函数项级数前n项的和,即 Sn(x)=∑uk(x) 令余项rn(x)=S(x)-Sn(x) 则在收敛域上有 lim Sn(x)=s(x), lim rn(x)=0 n→>00 n→00 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下返回结束
S(x) , 为级数的和函数 , 并写成 ( ) ( ) 1 S x u x n n 若用 S (x) n ( ) ( ) 1 S x u x n k n k 令余项 r (x) S(x) S (x) n n 则在收敛域上有 lim S (x) S(x) , n n lim ( ) 0 r x n n 表示函数项级数前 n 项的和, 即 在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 称它 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例如,等比级数∑x=1+x+x2+…+x+ n=0 它的收敛域是(-1,1),当x∈(-1,1)时,有和函数 ∑ y1 0 X 它的发散域是(-∞,-1]及[1,+∞),或写作x|21 又如级数∑2(x≠0),当x|=1时收敛 n=0 n 但当0<x|≠1时,iln(x)=∞,级数发散; n→> 所以级数的收敛域仅为x|=1 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下返回结束
例如, 等比级数 它的收敛域是 (1,1 ) , ( , 1 ] 及 [1， ）, n n n x x x x 2 0 1 x x n n 1 1 0 它的发散域是 或写作 x 1. 又如, 级数 ( 0) , 0 2 x n x x n n n lim ( ) , u x n n 级数发散 ; 所以级数的收敛域仅为 x 1. 当x(1,1)时, 有和函数 当 x 1时收敛, 但当0 x 1时, 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、幂级数及其收敛性 形如∑an(x-x0)"=a0+a1(x-x0)+a2(x-x)2+ 0 +an(x-x0)+… 的函数项级数称为幂级数,其中数列an(n=01,…)称 为幂级数的系数 下面着重讨论x=0的情形,即 0a1x+a2x-+…+anx+ 例如,幂级数∑x x|<1即是此种情形 n=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下返回结束
二、幂级数及其收敛性 形如 0 0 ( ) n n n a x x 2 0 1 0 2 0 a a (x x ) a (x x ) 的函数项级数称为幂级数, 其中数列 a (n 0,1,) n 下面着重讨论 0 x0 n0 n n a x a0 a1x a2 x 2 an x n 例如, 幂级数 , 1 1 1 0 x x x n n 为幂级数的系数 . 即是此种情形. 的情形, 即 an (x x0 )n 称 机动 目录 上页 下页 返回 结束