习题课 第十一章 级数的收敛、求和与展开 一、数项级数的审敛法 二、求幂级数收敛域的方法 三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数和付式级数 展开法 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
习题课 级数的收敛、求和与展开 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数和付式级数 展开法 一、数项级数的审敛法 二、求幂级数收敛域的方法 第十一章
∑vn(x)求和:(x)(在收敛域内进行) 展开 当x=x0时为数项级数 ∑n(x)当xn(x)=2anx”时为幂级数 Gun(x)=an cos nx+bm sinx (anbn为傅氏系数)时,为傅立叶级数 基本问题:判别敛散;求收敛域 求和函数;级数展开 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
求和 展开 (在收敛域内进行) 基本问题：判别敛散； 求收敛域； 求和函数； 级数展开. 为傅氏系数) 时, 为傅立叶级数. 时为数项级数; 时为幂级数; an bn ( , 机动 目录 上页 下页 返回 结束
数项级数的审敛法 1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2.正项级数审敛法 必要条件1mn=0不满足一发散 满足 比值审敛法lim n+1 部分和极限 1"2 不定比较审敛法 根值审敛法 lim nun=p用它法判别 n→0 积分判别法 < O>1 收敛 发散 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、数项级数的审敛法 1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 正项级数审敛法 必要条件 lim = 0 → n n u 不满足 发 散 满足 比值审敛法 lim n→ un+1 un = 根值审敛法 = → n n n lim u 1 收 敛 发 散 =1 不定 比较审敛法 用它法判别 积分判别法 部分和极限 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
3.任意项级数审敛法 概念:∑ln为收敛级数 n-1 若∑ln收敛,称∑n绝对收敛 n=1 若∑n发散,称∑n条件收敛 Leibniz判别法:若ln2ln+1>0,且 lim u=0 则交错级数∑(-1)n收敛,且余项Wln HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
3. 任意项级数审敛法 为收敛级数 Leibniz判别法: 若 且 则交错级数 收敛 , 概念: 且余项 若 收敛 , 称 绝对收敛 若 发散 , 称 条件收敛 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例若级数∑an与∑bn均收敛,且an≤Cn≤bn n=1 n (n=1,2,…),证明级数∑cn收敛 n 证:∵0≤cn-an≤bn-an(m=1,2,…),则由题设 ∑(bn-an)收敛∑(cn-an)收敛 n=1 ∑cn=∑[(cn-an)+an n=1 =∑(cn-an)+∑an收敛 练习题:P2571;2;3;4;5 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 若级数 均收敛 , 且 证明级数 收敛 . 证: n n n n 0 c − a b − a (n =1, 2 , ), 则由题设 ( ) 1 n n bn − a = 收敛 ( ) 1 n n n c − a = 收敛 [( ) ] 1 n n n n = c − a + a = ( ) 1 n n n = c − a = = + n 1 n a 收敛 练习题: P257 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 机动 目录 上页 下页 返回 结束