212证令%%由高斯公式得R-J.(C2)auav+1 dxdydzavavdxdydzdx+$,uoxdydz+azayORT cpsxz注意高斯公Pdydz+ Qdzdx+ Rdxdy移项即得所证
注意: ∭ Ω ( ∂ P ∂ x + ∂Q ∂ y + ∂ R ∂ z ) d xdydz ¿∯ Σ Pdydz+Qdzdx+Rdxdy 高斯公式 证:令 P= u ∂ v ∂ x , Q= u ∂ v ∂ y , R= u ∂ v ∂ z , 由高斯公式得 ( ∂ 2 v ∂ x 2 + ∂ 2 v ∂ y 2 + ∂ 2 v ∂ z ∭Ω [u 2 ) ] dxdydz ( ∂ v ∂ x cosα+ ∂ v ∂ y cos β+ ∂ v ∂ z cosγ =∯ Σ u ) dS 移项即得所证公式. + ∂ u ∂ x + ∂ u ∂ y ∂ v ∂ y + ∂ u ∂ z ∂ v ∂ z ∂ v ∂ x =∯ Σ u ( ∂ v ∂ x dydz+ ∂ v ∂ y dzdx+ ∂ v ∂ z dxdy)
dxdydz例证明eos(r,n) ds是包围π为的外法线方向V的曲面，(0, 0,0) ± Z=(X,y,z)证明因为的方向余弦为cos(r,n)==cosα+cosβ+=cos y
( ) 1 cos , 2 V dxdydz r n ds r = V n 2 2 2 r x y z = + + r x y z = ( , , ) (0,0,0) 例 证明 是包围 的曲面, 为 的外法线方向, r , , x y z r r r cos , cos cos cos ( ) x y z r n r r r =++ 证明 因为 的方向余弦为