$f,(x- y) dxdy+( y- z)xdydz例1.用Gauss公式计算×2+y=1及平面z=0,z=3所围空间其中2为柱面闭域Q的整个边界曲面的外侧解: 这里 P=(y- z)x, Q= 0, R= X- y3公式,得利用GaussJS (y-z)axcycz原式=3-2利用质心公式，注意Y=0,z9元=(O-)JSSdxdydz2思考：老若改为内侧，结果有何变化？若为圆柱侧面（取外侧），如何计算？
x 3 z 1 y 例1. 用Gauss 公式计算 ∯Σ ( x− y)dxdy+( y− z) xdydz 其中 为柱面 x 2 + y 2 = 1 闭域 的整个边界曲面的外侧. 解: 这里 利用Gauss 公式, 得 原式 = ∭ Ω ( y− z)dxdydz = − 9π 2 P= ( y− z) x, Q= 0, R= x− y 及平面 z = 0 , z = 3 所围空间 思考: 若 改为内侧, 结果有何变化? 若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算? = (0− 3 2 )∭ Ω dxdydz 利用质心公式, 注意 y= 0, z= 3 2 O
例2.利用Gauss公式计算积分I= JJ,(X?cos a+ycos β+cos y)dsZ hM×2+=介于z=0及z= h其中为锥面之间部分的下侧，α,β,为法向量的方向角解：作辅助面Z,:z= h,(x,y)EDxv:x?+y≤ h2,取上侧在上α=，0记，2，所围区域为2，则I=(Uz)-JJz, )(x?cosa+ycos β+cosy)dsh? dxdy: 2 J。(x+ y+z2) dxdydz- JJ byxy
Σ h z y x O 例2. 利用Gauss 公式计算积分 I =∬Σ ( x 2 cosα+ y 2 cos β+z 2 cosγ )dS 其中 为锥面 x 2 + y 2 = z 2 解: 作辅助面 Σ1 : z= h, ( x, y)∈Dxy : x 2 + y 2 ≤ h 2 , 取上侧 I = (∯Σ∪Σ1 −∬Σ1 )( x 2 cosα+ y 2 cos β+z 2 cosγ )dS 在 Σ1 上 α= β= π 2 , γ= 0 介于z = 0及 z = h 之间部分的下侧, , , 为法向量的方向角. 记 Σ,Σ1 所围区域为 , 则 = 2∭Ω ( x+ y+z) dxdydz −∬Dxy h 2 dxdy Σ1 h
h?dxdy/=2JJJ。(x+ y+z) dxdydz- JJ xyZ利用质心公式，注意x=y=0Zih=2JJ, z dxcyz - htZQ先二后"z indz -h4 =-h42XJJ ,(2+x)dydz- zoxdy,思考：计算曲面积分Z:z=(×2+）介于平面 z=0 及z=22之间部分的下侧21:Z=2提示：作取上侧的辅助面(X, y)EDxv:x2+y≤ 4
y x z 2 y x z 2 O I = 2∭Ω ( x+ y+z) dxdydz 利用质心公式, 注意 x= y= 0 = 2∭Ω z dxdydz − π h 4 −∬Dxy h 2 dxdy = − 1 2 π h 4 = 2∫ 0 h z ¿π z 2 dz − π h 4 思考: 计算曲面积分 提示: 作取上侧的辅助面 ∬Σ ( z 2 +x)dydz− zdxdy, Σ: z= 1 2 ( x 2 + y 2 ) 介于平面 z= 0 及 z = 2 之间部分的下侧. Σ1 : z= 2, ( x, y)∈Dxy : x 2 + y 2 ≤ 4 2 Σ h z y x O Σ1 h 先二后一
例3. 设为曲面 z= 2- x2- ,1≤ z≤ 2取上侧, 求I= J (× z+x)dydz- × yz dzdx- x2 dxdy.解：作取下侧的辅助面2(X, y)EDxv:x2+y≤ 1Z1: Z= 1M=$-J2用极坐标用柱坐标ZUZ,2dxdydz -(-1) J。(-×2)dxdySS2'e radr d- cose] drEI
O z x y 例3. I =∬ Σ ( x 3 z+x)dydz− x 2 yz dzdx− x 2 z 2 dxdy. 设 为曲面 z= 2− x 2 − y 2 , 1≤ z≤ 2 取上侧, 求 解: 作取下侧的辅助面 Σ1 : z= 1 ( x, y)∈Dxy : x 2 + y 2 ≤ 1 I = ∯ Σ∪Σ1 − ∬ Σ1 =∭ Ω dxdydz (− x 2 ∬ )dxdy D xy − (− 1) = ∫ 0 2π dθ∫ 0 1 rdr ∫ 1 2− r 2 dz − ∫ 0 2π cos2 θ dθ∫ 0 1 r 3 dr = π 4 用柱坐标 用极坐标 Σ 2 1 Σ1 1 Dx y
例4.设函数在闭区域2上具有一阶和证明格林(Green)第一公式二阶连续偏导数avP=u1101()dxdydzAQ=avav-excosβ+dscosa+COSJR-azay-dxdydz其中是整个Q边界面的外侧ap.aQaRJ注意：高斯公式d xdydzaxay azisfPdydz+Qdzdx+ Rdxdy2
( ∂ v ∂ x cosα+ ∂ v ∂ y cos β+ ∂ v ∂ z cosγ ) 在闭区域 上具有一阶和 二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式 dS 例4. 设函数 ∭Ω u dxdydz =∯Σ u −∭Ω ( ) dxdydz ∂ u ∂ x + ∂ u ∂ y ∂ v ∂ y + ∂ u ∂ z ∂ v ∂ z 其中 是整个 边界面的外侧. P= u ∂ v ∂ x Q= u ∂ v ∂ y R= u ∂ v ∂ z 注意: ∭ Ω ( ∂ P ∂ x + ∂Q ∂ y + ∂ R ∂ z ) d xdydz ¿∯ Σ Pdydz+Qdzdx+Rdxdy ∂ v ∂ x 高斯公式 ( ∂ 2 v ∂ x 2 + ∂ 2 v ∂ y 2 + ∂ 2 v ∂ z 2 )