例1设试验E为掷一颗骰子，观察出现的点数，定 义两个随机变量如下 X表示骰子出现的点数 Y=. 1,当出现奇数点时 2,当出现偶数点时 试求X与Y的联合分布律. 解(X,)可能取值为(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)、(3,1)人(3,2)、 (4,1)、(4,2)、(5,1)、(5,2)、(6,1)、(6,2). P=P(X-LY-B-P(X-BP(Y-IIX-1-1x1-1 66 p12=P{X=1,Y=2}=P{X=1}P{Y=2|X=1}=二×0， 6
例1 设试验E为掷一颗骰子，观察出现的点数，定 义两个随机变量如下 X 表示骰子出现的点数. 试求X与Y的联合分布律． = 2, . 1, , 当出现偶数点时 当出现奇数点时 Y 解 (X，Y)可能取值为(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)、(3,1)、(3,2)、 (4,1)、(4,2)、(5,1)、(5,2)、(6,1)、(6,2)． , 6 1 1 6 1 { 1, 1} { 1} { 1| 1} p11 = P X = Y = = P X = P Y = X = = = 0, 6 1 { 1, 2} { 1} { 2 | 1} p12 = P X = Y = = P X = P Y = X = =
同理 1 p2=p31=P42=P51=P62=6 P21=P32=P41=P52=P61=0 1 2 1/6 0 2 0 1/6 3 1/6 0 W 0 1/6 5 1/6 0 6 0 1/6 二维离散型随机变量(X,)的分布函数为F(x,y)=∑P, x≤x y≤y
同理 , 6 1 p22 = p31 = p42 = p51 = p62 = 0 p21 = p32 = p41 = p52 = p61 = Y X 1 2 1 1 / 6 0 2 0 1 / 6 3 1 / 6 0 4 0 1 / 6 5 1 / 6 0 6 0 1 / 6 二维离散型随机变量(X，Y)的分布函数为 . = y y x x ij j i F(x, y) p
三、二维连续型随机变量 定义设二维随机变量(X,)的分布函数为Fx,y), 如果存在非负函数fx,y),使对任意xy有 F(x,)=∫∫fx,dd （=∫∫'f,vdid 则称(X,)为二维连续型随机变量，称x,y)为X,)的概率密度或X、Y的 联合概率密度 性质1 f(x,y)≥0. 性质2 ∫fxy=1
三、二维连续型随机变量 定义 设二维随机变量(X，Y)的分布函数为F(x,y)， 如果存在非负函数f(x,y)，使对任意x,y有 ． 则称(X，Y)为二维连续型随机变量，称f(x,y)为(X，Y)的概率密度或X、Y的 联合概率密度． − − = x y F(x, y) f (x, y)dxdy = − − x y f (u, v)dudv f (x, y) 0 + − + − f (x, y)dxdy =1 性质1 ． 性质2
性质3在x的连续点处有fK,)=0Fx》 Oxoy 性质4设G为xOy面上一个区域，点(X,)落在G内的概 率为 P((X.Y)EG)=[[f(x.y)dxdy. 例2设二维随机变量(X,)的概率密度为 x≥0，y≥0， 0, 其它 (1)求k:(2)求分布函数Fxy):(3)求P{X> 解(1)由∫∫fx,ydy=1.而 ∫∫fax,y)ddy=∫。∫ke2+drdy
性质3 在f(x,y)的连续点处有 ． 性质4 设G为xoy面上一个区域，点(X，Y)落在G内的概 率为 ． x y F x y f x y = ( , ) ( , ) 2 = G P{(X,Y) G} f (x, y)dxdy 例2 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （1）求k；（2）求分布函数F(x,y)；（3）求P{X＞ Y}． = − + 0, . , 0, 0, ( , ) (2 3 ) 其它 k e x y f x y x y 解 （1）由 ．而 + − + − f (x, y)dxdy =1 + + − + + − + − = 0 0 (2 3 ) f (x, y)dxdy k e dxdy x y
则有k=6. (2)当x>0,y>0时 F(x,y)=∫∫'fx,y)dxdy=∫J6e2x+drd =(1-e2x)1-e-3y). 对于其它点x,y),由于fxy)=0,则F(x,y)=0. 于是 小0--n2 0,其它
6 d d 0 3 0 2 k k e x e y x y = = + − + − 则有k =6． （2）当 x＞0，y＞0时 ． 对于其它点(x，y)，由于f (x,y)=0，则F(x,y)=0． 于是 − + − − = = x y x y x y F x y f x y x y e x y 0 0 (2 3 ) ( , ) ( , )d d 6 d d (1 )(1 ) 2x 3y e e − − = − − − − = − 0, . (1 )(1 ), 0, 0, ( , ) 2 3 其它 e e x y F x y x y y x o G1