显然，两个多项式互素，那么它们除去零次多项式外没有其他的公因式，反之亦然.定理 3P[x]中两个多项式f(x)，g(x)互素的充要条件是有 P[x]中多项式u(x),(x)使u(x)f(x)+v(x)g(x)=1.定理 4如果(f(x),g(x)=1,且f(x)Ig(x)h(x),那么f(x) | h(x).推论 1 如果 fi(x)Ig(x), f2(x)Ig(x),且(f(x), f2(x)=1, 那么fi(x)f2(x) /g(x)推论2 如果(fi(x),g(x)=1,(f2(x),g(x)=1,那么(f(x)f (x),g(x) =1.推广：对于任意多个多项式fi(x),f,(x),,f,(x)(s≥2)，d(x)称为fi(x),f(x),,f.(x)(s≥2)的一个最大公因式，如果d(x)具有下面的性质：1) d(x)If.(x), i=1, 2,..,s;2)如果p(x)If(x),i=1,2,.,s，那么p(x)|d(x)我们仍用(f,(x),fz(x),,f,(x))符号来表示首项系数为1的最大公因式.不难证明fi(x),fz(x),,f.(x)的最大公因式存在，而且当Ji(x),Jz (x),f,(x)全不为零时，((f.(x), fz (x), ", s-I(x), f,(x)就是fi(x),fz(x),,f.(x)的最大公因式，即(f(x), f2 (x), , f (x)=((f.(α), f2 (x), , s-1(x)), f.(x))同样，利用以上这个关系可以证明，存在多项式u,(x),i=1,2,",s，使
显然,两个多项式互素,那么它们除去零次多项式外没有其他的公因式，反 之亦然. 定理 3 P[x] 中两个多项式 f (x) ， g(x) 互素的充要条件是有 P[x] 中多 项式 u(x), v(x) 使 u(x) f (x) + v(x)g(x) = 1. 定理 4 如果 ( f (x), g(x)) = 1 ，且 f (x) | g(x)h(x) ,那么 f (x) | h(x) . 推论 1 如果 ( )| ( ), ( ) | ( ) 1 2 f x g x f x g x ，且 ( f 1 (x), f 2 (x)) =1,那么 ( ) ( )| ( ) 1 2 f x f x g x . 推论 2 如果 ( f 1 (x), g(x)) =1, ( f 2 (x), g(x)) =1,那么 ( f 1 (x) f 2 (x), g(x)) =1. 推广：对于任意多个多项式 ( ), ( ), , ( )( 2) f 1 x f 2 x f s x s ， d (x) 称为 ( ), ( ), , ( )( 2) f 1 x f 2 x f s x s 的一个最大公因式，如果 d (x) 具有下面的性质： 1） d x f x i s i ( ) | ( ), =1, 2, , ; 2）如果 x f x i s i ( ) | ( ), =1, 2, , ，那么 (x) | d(x) . 我们仍用 ( ( ), ( ), , ( )) 1 2 f x f x f x s 符号来表示首项系数为 1 的最大公因 式 . 不难证明 ( ), ( ), , ( ) 1 2 f x f x f x s 的最大公因式存在，而且当 ( ), ( ), , ( ) 1 2 f x f x f x s 全不为零时， (( ( ), ( ), , ( )), ( )) 1 2 1 f x f x f x f x s− s 就是 ( ), ( ), , ( ) 1 2 f x f x f x s 的最大公因式，即 ( ( ), ( ), , ( )) 1 2 f x f x f x s = (( ( ), ( ), , ( )), ( )) 1 2 1 f x f x f x f x s− s 同样，利用以上这个关系可以证明，存在多项式 u x i s i ( ), =1,2, , ,使
u(x)f(x)+uz(x)fz (x)++u,(x)f,(x)=(f(x),f(x),,f.(x)如果(f(x),Jz(x),.(x)=1，那么i(x),z(x),.(x)就称为互素的.同样有类似定理3的结论，注意1)当一个多项式整除两个多项式之积时，若没有互素的条件，这个多项式一般不能整除积的因式之一.例如x2-1I(x+1)(x-1)，但x2-11(x+1), 且x2-1(x-1)2.2)推论1中没有互素的条件，则不成立.如g(x)=x2-1，f(x)=x+1,f2(x)=(x+1)(x-1), 则 f(x)1g(x), f(x)Ig(x), 但 f(x)f2(x)/g(x)注意：s(s≥2)个多项式f(x),f,(n),,f.(a)互素时,它们并不一定两两互素.例如，多项式fi(x)= x2 -3x+2 ,f2(x)= x2-5x+6, fs(x)=x2 -4x+3是互素的,但(f(x),f(x)=x-2.令P是含P的一个数域，d(x)是P[x]的多项式f(x)与g(x)在P[x]中的首项系数为1的最大公因式,而d(x)是f(x)与g(x)在P[X]中首项系数为1的最大公因式,那么d(x)=d(x).即从数域P过渡到数域P时，f(x)与g(x)的最大公因式本质上没有改变，互素多项式的性质可以推广到多个多项式的情形：1)若多项式h(x)lf(x)f;(x) f.(x), h(x)与f.(x),.-, f.-(x), fi(x),", f.(x)互素，则h(x)If,(x)(1≤i≤s)2)若多项式(x),J(x),J.(x)都整除h(x)，且i(x)2(x),J.(x)两两互素，则i(x)fz(α)f.(x)/h(x)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ), ( ), , ( )) 1 1 2 2 1 2 u x f x u x f x u x f x f x f x f x + ++ s s = s 如果 ( f 1 (x), f 2 (x), , f s (x)) = 1 ，那么 ( ), ( ), , ( ) 1 2 f x f x f x s 就称为互素 的.同样有类似定理 3 的结论. 注意 1)当一个多项式整除两个多项式之积时,若没有互素的条件,这 个多项式一般不能整除积的因式之一.例如 2 2 2 x −1| (x +1) (x −1) ,但 2 2 x −1 | (x +1) ,且 2 2 x −1 | (x −1) . 2) 推论 1 中没有互素的条件,则不成立.如 ( ) 1 2 g x = x − , f 1 (x) = x +1, ( ) ( 1)( 1) f 2 x = x + x − ,则 ( )| ( ), ( ) | ( ) 1 2 f x g x f x g x ,但 ( ) ( )| ( ) 1 2 f x f x g x . 注意: s (s 2) 个多项式 ( ), ( ), , ( ) 1 2 f x f x f x s 互素时,它们并不一定两 两互素.例如,多项式 ( ) 3 2 , ( ) 5 6 , ( ) 4 3 2 3 2 2 2 f 1 x = x − x + f x = x − x + f x = x − x + 是互素的,但 ( f 1 (x), f 2 (x)) = x − 2. 令 P 是含 P 的一个数域, d (x) 是 P[x] 的多项式 f (x) 与 g(x) 在 P[x] 中 的首项系数为1的最大公因式,而 d (x) 是 f (x) 与 g(x) 在 P[X ] 中首项系数为 1 的最大公因式,那么 d(x) = d(x). 即从数域 P 过渡到数域 P 时, f (x) 与 g(x) 的最大公因式本质上没有 改变. 互素多项式的性质可以推广到多个多项式的情形： 1) 若 多 项 式 ( ) | ( ) ( ) ( ), 1 2 h x f x f x f x s h(x) 与 ( ), , ( ), ( ), , ( ) 1 1 1 f x f x f x f x i− i+ s 互素，则 h(x) | f (x)(1 i s) i . 2) 若多项式 ( ), ( ), , ( ) 1 2 f x f x f x s 都整除 h(x) ，且 ( ), ( ), , ( ) 1 2 f x f x f x s 两两互素，则 ( ) ( ) ( ) | ( ) 1 2 f x f x f x h x s
3）若多项式f.(x),f,(x).",f,(x)都与h(x)互素，则(f.(x)f2(x)...f.(x),h(x)=1
3) 若多项式 ( ), ( ), , ( ) 1 2 f x f x f x s 都与 h(x) 互素，则 ( f 1 (x) f 2 (x) f s (x), h(x)) =1