83整除的概念教学目的理解整除的概念，熟练掌握整除的性质和带余除法定理，记忆整除、带余除法的有关术语，了解数域的扩张不影响多项式的整除性重点带余除法定理，整除.难点整除的灵活应用.教学过程在一元多项式环中，可以作加、减、乘三种运算，但是乘法的逆运算一除法一并不是普遍可以做的.因之整除就成了两个多项式之间的一种特殊的关系.一、整除的概念带余除法对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x)，其中g(x)+0，定有P[x]中的多项式q(x),r(x)存在，使(1)f(x)=q(x)g(x)+r(x)成立，其中a(r(x)<a(g(x)或者r(x)=0，并且这样的q(x),r(x)是唯一决定的.带余除法中所得的q(x)通常称为g(x)除f(x)的商，r(x)称为g(x)除f(x)的余式.定义5数域P上的多项式g(x)称为整除f(x)，如果有数域P上的多项式h(x)使等式f(x) = g(x)h(x)成立.用"g(x)/f(x)"表示g(x)整除f(x)，用"g(x)/f(x)"表示g(x)不能整除f(x).当g(x)If(x)时，g(x)就称为f(x)的因式，f(x)称为g(x)的倍式
§3 整除的概念 教学目的 理解整除的概念，熟练掌握整除的性质和带余除法定理，记忆 整除、带余除法的有关术语，了解数域的扩张不影响多项式的整除性. 重 点 带余除法定理, 整除. 难 点 整除的灵活应用. 教学过程 在一元多项式环中，可以作加、减、乘三种运算，但是乘法的逆运算— 除法—并不是普遍可以做的.因之整除就成了两个多项式之间的一种特殊的 关系. 一、整除的概念 带余除法 对于 P[x] 中任意两个多项式 f (x) 与 g(x) ，其中 g(x) 0 ，一 定有 P[x] 中的多项式 q(x),r(x) 存在，使 f (x) = q(x)g(x) + r(x) (1) 成立，其中 (r(x)) (g(x)) 或者 r(x) = 0 ，并且这样的 q(x),r(x) 是唯一决定 的. 带余除法中所得的 q(x) 通常称为 g(x) 除 f (x) 的商， r(x) 称为 g(x) 除 f (x) 的余式. 定义 5 数域 P 上的多项式 g(x) 称为整除 f (x) ，如果有数域 P 上的多项 式 h(x) 使等式 f (x) = g(x)h(x) 成立.用“ g(x) | f (x) ”表示 g(x) 整除 f (x) ，用“ g(x) | f (x) ”表示 g(x) 不能整 除 f (x) . 当 g(x) | f (x) 时， g(x) 就称为 f (x) 的因式， f (x) 称为 g(x) 的倍式
当g(x)±0时，带余除法给出了整除性的一个判别条件定理1对于数域P上的任意两个多项式f(x)，g(x)，其中g(x)±0g(x)If(x)的充要条件是g(x)除f(x)的余式为零带余除法中g(x)必须不为零.但g(x)lf(x)中，g(x)可以为零.这时f(x)= g(x)· h(x)= 0h(x)= 0 .当g(x)1f(x)时，如g(x)±0，g(x)除f(x)的商g(x)有时也用f(x)g(x)来表示二、整除的性质1.任一多项式f(x)一定整除它自身2.任一多项式f(x)都能整除零多项式03．零次多项式，即非零常数，能整除任一个多项式4. 若f(x)Ig(x),g(x)If(x)，则f(x)=cg(x),其中c为非零常数5.若f(x)Ig(x),g(a)/h(x)，则f(x)/h(x）（整除的传递性）6. 若f(x)/g,(x),i=1,2,.",r，则f(x)/(u,(x)gi(x)+u(x)g2(x)+...+u,(x)g,(x)其中u,(x)是数域P上任意的多项式通常,将u(x)gi(x)+u (x)g2(x)+..+u, (x)g,(x)称为gi(x),g2(n),",g,(x)的一个多项式组合.由以上性质可以看出，f(x)与它的任一个非零常数倍cf(x)(c0)有相同的因式，也有相同的倍式.因之，在多项式整除性的讨论中，f(x)常常可以用cf(x)来代替
当 g(x) 0 时，带余除法给出了整除性的一个判别条件. 定理 1 对于数域 P 上的任意两个多项式 f (x) ， g(x) ，其中 g(x) 0 ， g(x) | f (x) 的充要条件是 g(x) 除 f (x) 的余式为零. 带余除法中 g(x) 必须不为零.但 g(x) | f (x) 中， g(x) 可以为零 .这时 f (x) = g(x) h(x) = 0 h(x) = 0 . 当 g(x) | f (x) 时，如 g(x) 0 ， g(x) 除 f (x) 的商 q(x) 有时也用 ( ) ( ) g x f x 来表示. 二、整除的性质 1. 任一多项式 f (x) 一定整除它自身. 2. 任一多项式 f (x) 都能整除零多项式 0. 3. 零次多项式，即非零常数，能整除任一个多项式. 4. 若 f (x) | g(x), g(x) | f (x) ，则 f (x) = cg(x),其中 c 为非零常数. 5. 若 f (x) | g(x), g(x) | h(x) ，则 f (x) | h(x) （整除的传递性）. 6. 若 f x g x i r i ( ) | ( ), =1,2, , ，则 ( )| ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) 1 1 2 2 f x u x g x u x g x u x g x + ++ r r , 其中 u (x) i 是数域 P 上任意的多项式. 通常，将 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 u x g x u x g x u x g x + ++ r r 称为 ( ) 1 g x ， ( ) 2 g x ，.， g (x) r 的一个多项式组合. 由以上性质可以看出， f (x) 与它的任一个非零常数倍 cf (x)(c 0) 有相 同的因式，也有相同的倍式.因之，在多项式整除性的讨论中， f (x) 常常可 以用 cf (x) 来代替
最后，两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大而改变.即若f(x)g(x)是P[x)中两个多项式，P是包含P的一个较大的数域.当然，f(x)，g(x)也可以看成是P[x)]中的多项式.从带余除法可以看出，不论把f(x)，g(x)看成是P[x]中或者是P[x]中的多项式，用g(x)去除f(x)所得的商式及余式都是一样的.因此，若在P[x]中g(x)不能整除f(x)，则在P[x]中，g(x)也不能整除f(x)例 1 证明若 g(x)Ifi(x)+ f2(),g(x)I fi(x)-f2(x),则g(x)/ f,(x),g(x)/ f,(x)例2求k,1，使x2+x+1/x+kx+1.例 3 若g(x)I f(x),g(x) /h(x)，则g(x) f(x)+h(x)
最后，两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大而改变.即若 f (x) ， g(x) 是 P[x] 中两个多项式， P 是包含 P 的一个较大的数域.当然， f (x) ， g(x) 也可以看成是 P[x] 中的多项式.从带余除法可以看出，不论把 f (x) ， g(x) 看成是 P[x] 中或者是 P[x] 中的多项式，用 g(x) 去除 f (x) 所得的商式 及余式都是一样的.因此，若在 P[x] 中 g(x) 不能整除 f (x) ，则在 P[x] 中， g(x) 也不能整除 f (x) . 例 1 证明若 ( )| ( ) ( ), ( )| ( ) ( ) 1 2 1 2 g x f x + f x g x f x − f x ，则 ( )| ( ), ( )| ( ) 1 2 g x f x g x f x 例 2 求 k,l ，使 | 1 2 3 x + x + l x + kx+ . 例 3 若 g(x) | f (x), g(x) | h(x) ，则 g(x) | f (x) + h(x)
84多项式的最大公因式教学目标掌握公因式、最大公因式、互素的概念和辗转相除法，熟练掌握最大公因式定理和互素的充要条件重点难点最大公因式定理，互素的充要条件教学过程一、多项式的最大公因式如果多项式p(x)既是f(x)的因式，又是g(x)的因式，那么p(x)就称为f(x)与g(x)的一个公因式定义 6设f(x)与g(x)是P[x]中两个多项式.P[x]中多项式d(x)称为(x)，g(x)的一个公因式,如果它满足下面两个条件：1) d(x)是f(x)与g(x)的公因式；2）f(x)，g(x)的公因式全是d(x)的因式例如，对于任意多项式f(x)，f(x)就是f(x)与0的一个最大公因式.特别地，根据定义，两个零多项式的最大公因式就是0.引理如果有等式(1) f(x) = q(x)g(x)+r(x)成立，那么f(x)，g(x)和g(x)，r(x)有相同的公因式定理2对于P[x]的任意两个多项式f(x)，g(x)，在P[x]中存在一个最大公因式d(x)，且d(x)可以表成f(x)，g(x)的一个组合，即有P[x)中多项式u(x),v(x)使(2)d(x) = u(x)f(x)+v(x)g(x)由最大公因式的定义不难看出，如果d,(x),d,(x)是f(x)，g(x)的两个
§4 多项式的最大公因式 教学目标 掌握公因式、最大公因式、互素的概念和辗转相除法，熟练掌握 最大公因式定理和互素的充要条件. 重点难点 最大公因式定理，互素的充要条件. 教学过程 一 、多项式的最大公因式 如果多项式 (x) 既是 f (x) 的因式，又是 g(x) 的因式，那么 (x) 就称为 f (x) 与 g(x) 的一个公因式. 定义 6 设 f (x) 与 g(x) 是 P[x] 中两个多项式. P[x] 中多项式 d (x) 称为 f (x) ， g(x) 的一个公因式,如果它满足下面两个条件： 1） d (x) 是 f (x) 与 g(x) 的公因式； 2） f (x) ， g(x) 的公因式全是 d (x) 的因式. 例如，对于任意多项式 f (x) ， f (x) 就是 f (x) 与 0 的一个最大公因式. 特别地，根据定义，两个零多项式的最大公因式就是 0. 引理 如果有等式 f (x) = q(x)g(x) + r(x) (1) 成立，那么 f (x) ， g(x) 和 g(x)，r(x) 有相同的公因式. 定理 2 对于 P[x] 的任意两个多项式 f (x) ，g(x) ，在 P[x] 中存在一个最 大公因式 d (x) ，且 d (x) 可以表成 f (x) ，g(x) 的一个组合，即有 P[x] 中多项 式 u(x), v(x) 使 d(x) = u(x) f (x) + v(x)g(x) (2) 由最大公因式的定义不难看出，如果 ( ), ( ) 1 2 d x d x 是 f (x) ，g(x) 的两个
最大公因式，那么一定有d,(x)ld,(x)与d,(x)ld,(x)，也就是说d,(x)=cd,(x),c*0.这就是说，两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是唯一确定的.两个不全为零的多项式的最大公因式总是一个非零多项式.在这个情形，我们约定，用(f(x),g(x))来表示首项系数是1的那个最大公因式，定理证明中用来求最大公因式的方法通常称为转相除法（divisionalgorithm).例设f(x)=x* +3x3 -x2 -4x-3g(x) = 3x3 +10x2 + 2x -3求 (f(x)，g(x)),并求u(x),v(x)使d(x) = u(x)f(x)+v(x)g(x).注：定理2的逆不成立.例如令f(x)=x, g(x)=x+1,则x(x+ 2)+(x + 1)(x -1)= 2x2 + 2x -1.但2x2+2x-1显然不是f(x)与g(x)的最大公因式但是当(2)式成立，而d(x)是f(x)与g(x)的一个公因式，则d(x)一定是f(x)与g(x)的一个最大公因式.二、多项式互素定义7P[x)中两个多项式f(x)，g(x)称为互素（也称为互质）的，如果(f(x),g(x)=1
最大公因式，那么一定有 ( )| ( ) 1 2 d x d x 与 ( )| ( ) 2 1 d x d x ， 也 就 是 说 d1 (x) = cd2 (x),c 0 .这就是说，两个多项式的最大公因式在可以相差一个 非零常数倍的意义下是唯一确定的.两个不全为零的多项式的最大公因式 总是一个非零多项式.在这个情形，我们约定，用 （ f (x) ， g(x) ） 来表示首项系数是 1 的那个最大公因式. 定理证明中用来求最大公因式的方法通常称为辗转相除法(division algorithm). 例 设 ( ) 3 4 3 4 3 2 f x = x + x − x − x − ( ) 3 10 2 3 3 2 g x = x + x + x − 求（ f (x) ， g(x) ），并求 u(x), v(x) 使 d(x) = u(x) f (x) + v(x)g(x) . 注：定理 2 的逆不成立.例如令 f (x) = x, g(x) = x +1, 则 ( 2) ( 1)( 1) 2 2 1 2 x x + + x + x − = x + x − . 但 2 2 1 2 x + x − 显然不是 f (x) 与 g(x) 的最大公因式. 但是当(2)式成立，而 d (x) 是 f (x) 与 g(x) 的一个公因式，则 d (x) 一定 是 f (x) 与 g(x) 的一个最大公因式. 二、多项式互素 定义 7 P[x] 中两个多项式 f (x) ， g(x) 称为互素（也称为互质）的， 如果 ( f (x), g(x)) = 1