推论 如果幂级数∑nx“不仅在x=0处收敛，也不在 n=0 整个数轴上都收敛，则必有一个完全确定的R 存在，它具有下列性质： (I)当x<R时，幂级数绝对收敛： (2)当x>时，幂级数发散； (3)当x=R与x=-时，幂级数可能收敛也可能发散
推论 0 0 (1) (2) (3) . n n n a x x R x R x R x R x R 如果幂级数 不仅在 处收敛，也不在 整个数轴上都收敛，则必有一个完全确定的 存在，它具有下列性质： 当 时，幂级数绝对收敛； 当 时，幂级数发散； 当 与 时，幂级数可能收敛也可能发散
正数R称为幂级数的收敛半径. 开区间(-R,R),称为幂级数的收敛区间. 收敛域的形式有：(-R,R),-R,R),(-R,R],[-,R 规定 ()幂级数只在x=0处收敛， 则R=0,收敛区间x=0 (2)幂级数对一切x都收敛， 则R=+0,收敛区间(-0，+0) 问题 如何求幂级数的收敛半径？
正数R称为幂级数的收敛半径. [ R, R), ( R, R], [ R, R]. 规定 问题 如何求幂级数的收敛半径? 收敛域的形式有： ( R, R), 开区间 ( R, R), 称为幂级数的收敛区间. (1) 0 0, 0 x R x 幂级数只在 处收敛， 则 收敛区间 (2) , ( , ) x R 幂级数对一切 都收敛， 则 收敛区间
定理2 如果lim n+ =p,其中an,an+是幂级数 1→0 an 4，的相邻两项的系数，则其收敛半径为 n=0 1/p,p≠0 R=+o,p=0 0,p=+0 证明对级数∑口，x应用达朗贝尔判别法 n=0 lim lim a,x" x=px, n-→∞ n-→o
证明 0 n n n a x 对 级 数 应 用 达 朗 贝 尔 判 别 法 n n n n n a x a x 1 1 lim x a a n n n 1 lim x , 1 1 0 lim , 1 / , 0 , 0 0, 2 n n n n n n n n a a a a a x R 如果 ，其中 是幂级数 的相邻两项的系数,则其收敛半径为 定理
(1) 如果im =P(p≠0)存在， n-→oo a. 由比值审敛法，当1xK时，级数∑1a,x”1收敛， 0 从而级数∑anx"绝对收敛. n=0 当x>时，级数∑1a,x1发散， n=0 从而级数∑，x“发散.收敛半径R=1 n=0
(1) lim ( 0) , 如 果 1 存 在 n n n a a 由比值审敛法, , 1 当 | | 时 x | | , 0 级 数 收 敛 n n n a x . 0 从而级数 绝 对收 敛 n n n a x , 1 当 | | 时 x 0 | | , n n n a x 级数 发散 . 0 n n n 从而级数 a x 发 散 ; 1 收敛半径 R
(2)如果p=0,x≠0， 有1 00 arx →0(n→oo),级数∑lanx"1收敛， n=0 00 从而级数∑anx”绝对收敛.收敛半径R=+o; n=0 (3)如果p=+0, 由 a.x" →0(n→0)，级数∑0，x"必发散. =0 收敛半径R=0. 定理证华
(2) 如 果 0, x 0, 0 ( ), 1 1 n a x a x n n n n 有 | | , 0 级 数 收 敛 n n n a x . 0 从而级数 绝 对收 敛 n n n a x 收敛半径 R ; (3) 如 果 , 1 1 0 ( ), . n n n n n n n a x n a x a x 由 级数 必发散 收 敛 半 径 R 0. 定理证毕