(2)当 ,1>1,今1+x<1, 1+x 即-2<x<0时，原级数发散 (3)当|1+x=1,→x=0或x=-2, 当x=0时， 级数立 收敛； n 当x=-2时， 级数 发散； n=1 I 故级数的收敛域为(-o,-2)U[0,+o)
1, 1 1 (2) x 当 1 x 1, 即 2 x 0时 , 原级数发散. 当 x 0 , 时 1 ( 1) n n n 级数 收敛; 当 x 2 , 时 1 1 n n 级数 发散; 故 级 数 的 收 敛 域 为 ( ,2) [0, ) . (3) 当 | 1 x | 1, x 0或 x 2
二、幂级数及其收敛性 形如∑a,(x-x)=a+4(x-)+0,(x-尸+. n=0 +an(c-x)”+. 的函数项级数成为幂级数，其中an(n=0,1,.)称为 幂级数的系数. 下面着重讨论七。=0的情形，即 ∑0nx=0+a,x+a,2++a,x+. 例如，幂级数交=十文<1即是此种情形
二、幂级数及其收敛性 下面着重讨论 例如, 幂级数 0 1 , 1 1 n n x x x 即是此种情形. 的情形, 即 2 0 0 1 0 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0,1, ) n n n n n n a x x a a x x a x x a x x a n 形如 的函数项级数成为 其中 称为 幂级数 幂级数， 的系数
定理1（阿贝尔(Abel)定理） 如果级数∑a,x”在x=x,(化。≠0)处收敛， n=0 则它在满足不等式x<x,的一切x处绝对 收敛：反之，级数∑a,x在r=x,处发散， n=0 则它在满足不等式x>x的一切x处发散. 证明：（山）∑anx收敛，ima,”=0, 1-→0 n=0
证明： lim 0, 0 n n n (1) , a x 0 0 收 敛 n n n a x 定理1 (阿贝尔（Abel）定理) 0 0 0 0 0 0 0 ( 0) . n n n n n n a x x x x x x x a x x x x x x 如果级数 在 处收敛， 则它在满足不等式 的一切 处绝对 收敛；反之，级数 在 处发散， 则它在满足不等式 的一切 处发散
3M,使得anx”≤M(n=01,2,.) w.s ≤M :当<1时，等比级数∑M 收敛， Xo n=0 ∑口x收敛，即级数∑0，x收敛 n=0
( 0,1,2, ) a x0 M n n 使 得 n M , n n n n n n x x a x a x 0 0 n n n x x a x 0 0 n x x M 0 1 , 0 当 时 x x , 0 0 等比级数 收 敛 n n x x M , 0 收 敛 n n n a x ; 0 即级数 收 敛 n n n a x
(2)假设当x=x时发散， 而有一点x适合|x>lx。|使得级数收敛， 由(1)结论，则级数当x=x时应收敛， 这与假设矛盾. 几何说明 收敛区域 发散区域一R R 发散区域
(2) , 假设当 x x0时发散 x o R R 几何说明 收敛区域 发散区域 发散区域 1 1 0 0 | | | | (1) . x x x x x 而有一点 适合 使得级数收敛， 由 结论，则级数当 时应收敛， 这与假设矛盾