当向量α是向量组Bi,β,β的一个线性组合时，也说α可以经向量组Bβ2，βs线性表出定义10如果向量组αi,α2,α,中每一个向量α,(i=1,2,,t)都可以经向量组β，β2，β：线性表出，那么向量组αi,α2α,就称为可以经向量组β,β2,β.线性表出.如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价.由定义有，每一个向量组都可以经它自身线性表出.同时，如果向量组ααα,可以经向量组BB.B线性表出，向量组BB，β可以经向量组1,2,,线性表出，那么向量组α,α2,α,可以经向量组线性表出.向量组之间等价具有以下性质：1）反身性：每一个向量组都与它自身等价2）对称性：如果向量组αiα2α,与B,β，β等价，那么向量组βr,β2β与α,α,α,等价.3）传递性：如果向量组αα2α与Bββ等价，Bβ2，与2等价，那么向量组ααα与2等价定义11如果向量组αj,α2,",α,(s≥2)中有一个向量是可以由其余的向量的线性表出，那么向量组α,α2，,α,线性相关从定义可以看出，任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的.向量组α,α,线性相关就表示α,=kα,或者α,=kα,（这两个式子不一定能同时成立).在P为实数域，并且是三维时，就表示向量α,与α,共线.三个向量α,α2,α,线性相关的几何意义就是它们共面定义11'向量组α,αz,",α,(s≥1)称为线性相关的，如果有数域P中
当向量 是向量组 s , , , 1 2 的一个线性组合时，也说 可以经向量 组 s , , , 1 2 线性表出. 定义 10 如果向量组 t , , , 1 2 中每一个向量 (i 1,2, ,t) i = 都可以 经向量组 s , , , 1 2 线性表出，那么向量组 t , , , 1 2 就称为可以经向量 组 s , , , 1 2 线性表出.如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为 等价. 由定义有，每一个向量组都可以经它自身线性表出.同时，如果向量组 t , , , 1 2 可以经向量组 s , , , 1 2 线性表出，向量组 s , , , 1 2 可以 经向量组 p , , , 1 2 线性表出，那么向量组 t , , , 1 2 可以经向量组线性 表出. 向量组之间等价具有以下性质： 1）反身性：每一个向量组都与它自身等价. 2）对称性：如果向量组 s , , , 1 2 与 t , , , 1 2 等价，那么向量组 t , , , 1 2 与 s , , , 1 2 等价. 3）传递性：如果向量组 s , , , 1 2 与 t , , , 1 2 等价， t , , , 1 2 与 p , , , 1 2 等价，那么向量组 s , , , 1 2 与 p , , , 1 2 等价. 定义 11 如果向量组 s , , , 1 2 (s 2) 中有一个向量是可以由其余 的向量的线性表出，那么向量组 s , , , 1 2 线性相关. 从定义可以看出，任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的.向 量组 1 2 , 线性相关就表示 1 2 = k 或者 2 1 = k (这两个式子不一定能同 时成立).在 P 为实数域，并且是三维时，就表示向量 1 与 2 共线.三个向量 1 2 3 , , 线性相关的几何意义就是它们共面. 定义 11′向量组 s , , , 1 2 (s 1) 称为线性相关的，如果有数域 P 中
不全为零的数k,kz,",k,，使k,α,+k,α,+...+k,α,=0这两个定义在s≥2的时候是一致的定义12一向量组αi,α2",α,(s≥1)不线性相关，即没有不全为零的数kj,z,",,，使k,α,+k,α, +..+k,α,=0就称为线性无关；或者说，一向量组αi,αz，…,α,称为线性无关，如果由ka +k,a2+..+k,a,=0可以推出k,=kz=...=k,=0由定义有，如果一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关.换句话说，如果一向量组线性无关，那么它的任何一个非空的部分组也线性无关.特别地，由于两个成比例的向量是线性相关的，所以，线性无关的向量组中一定不能包含两个成比例的向量定义11包含了由一个向量组构成的向量组的情形.单独一个零向量线性相关，单独一个非零向量线性无关不难看出，由n维单位向量8,82，,8,组成的向量组是线性无关的具体判断一个向量组是线性相关还是线性无关的问题可以归结为解方程组的问题.要判断一个向量组(2)α,=(a,ai2,,am) i=1,2,..,s是否线性相关，根据定义11，就是看方程Xa+xα+..+xα,=0(3)有无非零解.（3)式按分量写出来就是
不全为零的数 s k , k , , k 1 2 ，使 k11 + k2 2 ++ ks s = 0 这两个定义在 s 2 的时候是一致的. 定义 12 一向量组 s , , , 1 2 (s 1) 不线性相关，即没有不全为零的 数 s k , k , , k 1 2 ，使 k11 + k2 2 ++ ks s = 0 就称为线性无关；或者说，一向量组 s , , , 1 2 称为线性无关，如果由 k11 + k2 2 ++ ks s = 0 可以推出 k1 = k2 == ks = 0 由定义有，如果一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相 关.换句话说，如果一向量组线性无关，那么它的任何一个非空的部分组也 线性无关.特别地，由于两个成比例的向量是线性相关的，所以，线性无关 的向量组中一定不能包含两个成比例的向量. 定义 11′包含了由一个向量组构成的向量组的情形. 单独一个零向量 线性相关，单独一个非零向量线性无关. 不难看出，由 n 维单位向量 n , , , 1 2 组成的向量组是线性无关的. 具体判断一个向量组是线性相关还是线性无关的问题可以归结为解方 程组的问题.要判断一个向量组 a a a i s i i i in ( , , , ) 1,2 , , = 1 2 = (2) 是否线性相关，根据定义 11，就是看方程 x11 + x2 2 ++ xs s = 0 (3) 有无非零解.(3)式按分量写出来就是