b,a2ainanib2a21a22..a2n(8)主:(asa..amb,称为线性方程组(1)的增广矩阵.显然，用初等变换化方程组(1)成阶梯形就相当于用初等行变换化增广矩阵(8)成阶梯形矩阵.因此，解线性方程组的第一步工作可以通过矩阵来进行，而从化成的阶梯形矩阵就可以判别方程组有解还是无解，在有解的情形，回到阶梯形方程组去解例3解线性方程组[2x, -X2 +3x, =1,4x -2x2 +5x, =4,2x -x,+4x,=0
s s sn s n n a a a b a a a b a a a b 1 2 21 22 2 2 11 12 1 1 (8) 称为线性方程组(1)的增广矩阵.显然，用初等变换化方程组(1)成阶梯形就相 当于用初等行变换化增广矩阵(8)成阶梯形矩阵.因此，解线性方程组的第一 步工作可以通过矩阵来进行，而从化成的阶梯形矩阵就可以判别方程组有 解还是无解，在有解的情形，回到阶梯形方程组去解. 例 3 解线性方程组 − + = − + = − + = 2 4 0. 4 2 5 4 , 2 3 1, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x
82n维向量空间教学目的掌握向量的概念，向量的加法和数量乘法，熟练掌握向量空间的定义和八条运算性质重点向量空间的定义和八条运算性质难点向量空间的定义教学过程定义2所谓数域P上一个n维向量就是由数域P中n个数组成的有序数组(1)(a,a,...,an)a,称为向量(1)的分量用小写希腊字母α,β...来代表向量定义3如果n维向量α=(a,a2,,a,),β=(br,b2,,b,)的对应分量都相等，即a, =b,(i=1,2,...,n)就称这两个向量是相等的，记作α=βn维向量之间的基本关系是用向量的加法和数量乘法表达的定义4向量y=(a +bi,az +bz,.-,an +b,)称为向量α=(ai,az,..,a,),β=(b,b2,..,b.)的和，记为=α+β由定义立即推出：
§2 n 维向量空间 教学目的 掌握向量的概念，向量的加法和数量乘法，熟练掌握向量空间的 定义和八条运算性质. 重 点 向量空间的定义和八条运算性质 难 点 向量空间的定义 教学过程 定义 2 所谓数域 P 上一个 n 维向量就是由数域 P 中 n 个数组成的有序 数组 ( , , , ) a1 a2 an (1) i a 称为向量(1)的分量. 用小写希腊字母 , , , 来代表向量. 定义 3 如果 n 维向量 ( , , , ) , ( , , , ) = a1 a2 an = b1 b2 bn 的对应分量都相等，即 a b (i 1,2, ,n) i = i = . 就称这两个向量是相等的，记作 = . n 维向量之间的基本关系是用向量的加法和数量乘法表达的. 定义 4 向量 ( , , , ) = a1 + b1 a2 + b2 an + bn 称为向量 ( , , , ) , ( , , , ) = a1 a2 an = b1 b2 bn 的和，记为 = + 由定义立即推出：
交换律：(2)α+β=β+α结合律：(3)α+(β+)=(α+β)+y定义5分量全为零的向量(0,0,,0)称为零向量，记为0;向量(-a,a.,-a,）称为向量α=(a,a2,a）的负向量，记为-α显然对于所有的α，都有(4)α+0=α(5)α+(-α)=0(2)一(5)是向量加法的四条基本运算规律定义6 α-β=α+(-β)定义7设k为数域P中的数，向量(ka,ka,....,ka.)称为向量α=（a,az,,a,）与数k的数量乘积，记为kα由定义立即推出：(6)k(α+β)=kα+kβ(7)(k+)α=kα+lα(8)k(lα)=(k)α(9)lα=α(6)一(9)是关于数量乘法的四条基本运算规则.由(6)一(9)或由定义不难推出：0α=0(10)(11)(-1)α= -αk0=0(12)如果k0,α0，那么
交换律： + = + . (2) 结合律： + ( + ) = ( + ) + (3) 定义 5 分量全为零的向量 (0,0, ,0) 称为零向量，记为 0;向量 ( , , , ) −a1 −a2 −an 称为向量 ( , , , ) = a1 a2 an 的负 向量，记为 − . 显然对于所有的 ，都有 + 0 = (4) + (−) = 0 (5) (2)—(5)是向量加法的四条基本运算规律. 定义 6 − = + (− ) 定义 7 设 k 为数域 P 中的数，向量 ( , , , ) 1 2 n ka ka ka 称为向量 ( , , , ) = a1 a2 an 与数 k 的数量乘积，记为 k 由定义立即推出： k( + ) = k + k (6) (k + l) = k + l (7) k(l) = (kl) (8) 1 = (9) (6)—(9)是关于数量乘法的四条基本运算规则.由(6)—(9)或由定义不难推出： 0 = 0 (10) (−1) = − (11) k0 = 0 (12) 如果 k 0 , 0 ，那么
ka±0(13)定义8以数域P中的数作为分量的n维向量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法，称为数域P上的n维向量空间在n=3时，3维实向量空间可以认为就是几何空间中全体向量所成的空间.以上已把数域P上全体n维向量的集合组成一个有加法和数量乘法的代数结构，即数域P上n维向量空间向量通常是写成一行：α=(aj,a2,",an)有时也可以写成一列：aa.α=(an)为了区别，前者称为行向量，后者称为列向量。它们的区别只是写法上的不同
k 0 (13) 定义 8 以数域 P 中的数作为分量的 n 维向量的全体，同时考虑到定义 在它们上面的加法和数量乘法，称为数域 P 上的 n 维向量空间. 在 n = 3 时，3 维实向量空间可以认为就是几何空间中全体向量所成的 空间. 以上已把数域 P 上全体 n 维向量的集合组成一个有加法和数量乘法的 代数结构，即数域 P 上 n 维向量空间. 向量通常是写成一行： ( , , , ) = a1 a2 an . 有时也可以写成一列： = n a a a 2 1 . 为了区别，前者称为行向量，后者称为列向量。它们的区别只是写法上的不 同
s3线性相关性教学目的本节概念多、性质多，要深刻理解它们的几何背景.掌握线性组合、等价的概念和性质，熟练掌握线性相关性的定义和性质，熟练掌握极大无关组的概念和性质。重点线性相关性的定义和性质，极大无关组的概念和性质难点线性相关的定义，替换定理教学过程一般向量空间除只有一个零向量构成的零空间外，都含有无穷多个向量，这些向量之间有怎样的关系，对于弄清向量空间的结构至关重要。一、线性相关与线性无关两个向量之间最简单的关系是成比例.所谓向量α与β成比例就是说有一数k使α=kβ.定义9向量α称为向量组B,β2,β的一个线性组合，如果有数域P中的数k,kz,",k,，使α=k,β +kβ+.+k,β,其中k,kz，",k,叫做这个线性组合的系数例如，任一个n维向量α=(a,az，,a,）都是向量组6} = (1,0,.,0),62= (0,1,,0),(1)[6,=(0,0,..,1)的一个线性组合.向量828称为n维单位向量零向量是任意向量组的线性组合
§3 线性相关性 教学目的 本节概念多、性质多，要深刻理解它们的几何背景.掌握线性组 合、等价的概念和性质，熟练掌握线性相关性的定义和性质，熟练掌握极大 无关组的概念和性质。 重 点 线性相关性的定义和性质，极大无关组的概念和性质. 难 点 线性相关的定义，替换定理 教学过程 一般向量空间除只有一个零向量构成的零空间外，都含有无穷多个向 量，这些向量之间有怎样的关系，对于弄清向量空间的结构至关重要。 一、线性相关与线性无关 两个向量之间最简单的关系是成比例.所谓向量 与 成比例就是说 有一数 k 使 = k . 定义 9 向量 称为向量组 s , , , 1 2 的一个线性组合，如果有数域 P 中的数 s k , k , , k 1 2 ，使 s s = k11 + k2 2 ++ k , 其中 s k , k , , k 1 2 叫做这个线性组合的系数. 例如，任一个 n 维向量 ( , , , ) = a1 a2 an 都是向量组 = = = (0,0, ,1) (0,1, ,0), (1,0, ,0), 2 1 n （1） 的一个线性组合. 向量 n , , , 1 2 称为 n 维单位向量. 零向量是任意向量组的线性组合