第一章实数集与函数 (1)S={x1x2<2};(2)S={x1x=n!,n∈N,} (3)S={x1x为(0,1)内的无理数}; (4)s={x1x=11.n∈N, 解(1)supS=√2,infS=-√2,以下依定义加以验证,由x2<2 知-√2<x<√2,因之对任意的x∈S,有x<√2且x>-√2,即2 √2分别是S的上、下界.又对任意的c>0,不妨设e>22,于是存 在x0=2-2,x1=2+2,使x,x1∈S,但xo> <-√2+e,所以supS=√2,inS=-2 (2)supS=+∞,infs=1,以下依定义验证.对任意的x∈S 1≤x<+∞,所以1是S的下界.对任意自然数n,n!<+∞,所以 supS=+∞;对任意的e>0,存在x1=1!=1∈S,使x1<1+E所 以infS=1 (3)supS=1,infS=0,以下依定义验证,对任意的x∈S有 0<x<1,所以1,0分别是S的上、下界.对任意的e>0,取 0<n<e,且使1-7为无理数,则1-n∈S,1-n>1-e,所以 supS=1;由n的取法知n是无理数,∈S,n<e=0+e,所以 infs= 0 (4)upS=1.infS=,以下依定义验证对任意的x∈S, 有≤x<1,所以1号分别S的上、下界;对任意的∈>0必存在 自然数k,使x=1-1∈s,且a=1-1>1-e,所以sps=1, 又x=1 1 2=2∈S,x=1-2=2<2+e,所以iS=2 5.设S为非空有下界数集,证明: inS=:∈S台=minS 证:充分性:设6=infS则对一切的x∈S,x≥6 又对任意的e>0,存在日∈S;<+ε,所以infS=
§2数集与确界原理 必要性:设nfS=∈S,则对一切的x∈S,x≥且s∈S 所以E=minS 6.设S为非空数集,定义S={x1-x∈S},证明: 证:(1)设=infS,由下确界的定义知,对任意的x∈s,有 x≥5,且对任意的e>0,存在x0∈S,使x0<日+c 由S={x|-x∈S知,对任意的-x∈S,-x≤-6,且存 在-x0∈S,使-x0>--e,由上确界定义知supS=-6,即 nfS=-supS,同理可证(2)式成立 7.设A,B皆为非空有界数集,定义数集 A+B={z1z=x+y,x∈A,y∈B} iEB: (1sup(A+ B)= spA + supB (2)if(A+ B)= infA+ infB 证:(1)设supA 对任意的z∈A+B,存在 x∈A,y∈B,使z=x+y,于是x≤n,y≤n.从而Z≤m+m, 对任意的e>0,必存在x0∈A,y∈B,且x0>m y>m-万 则存在x0=x0+y∈A+B,使0>(m+n)-e 所以sup(A+B)=n+m=supA+spB (2)同理可证 8.设a>0,a≠1,x为有理数,证明 pa|r为有理数,r<x},当 nfa|r为有理数,r<x},当a<1 证:只证a>1的情况,a<1的情况可以类似地预以证明. 设E={a|r为有理数,r<x},因为a>1,a严格递增,故对 任意的有理数r<x,有a'<a2,即a2是E的一个上界.对任意的 ε>0,不妨设ε<a2,于是必存在有理数r。<x,使得 事实上,由0<a2-e<a及kxx递增知:kg(a2-e)<kgax=x
第一章实数集与函数 取有理数r0,使得kg2(a2-e)<ro<x 所以a2=supE,即a2=supa|r为有理数} S3函数概念 1.试作下列函数的图象: (2)y=(x+1)2 (3)y=1-(x+1)2 (4)y= sgn(sinx) x|>1 lx|=1 解利用描点作图法,各函数图像如图1-3至图1-7 Y X X 图1-5 o25 图1-6