1.2微积分基本定理.312i/n2，我们有可知存在S;E[（i-1)/n，i/n]（i≥2），使得1+1/m1= lim_2%h1=lim）211In2e1+1/mnn例1.2.14试求下列极限：(1) [= lim11+2**+3+++n+)(α>-1)1+2+3+..+n+3*++(2n-1)(≥0)（2）1=limnt+i解（1）因为KChati2().n22().1所以得到r'dr =at!α+2（2）因为1+3*+(2n-1)*=2(2i-1)nti112nn又注意到对[0,1]作分划a=n(i0，1,2，*，n)时，其中21-1-1(-1+2)(i=1,2,,n)272n22是-与：的中间值，所以可知2k(2i—-1)元I=lim2kadz=24k+i2n例1.2.15试证明下列极限等式： f()dr = 0.(1)设fER([o,1]),且limf(z)=0,则limn(2)设fEC()([0,1]),则lim2[(+,)()]-f()]n2.(3)fec(t-1),则dx-w(0).(4)limisindo=0,入<1.证明（1）不妨设|f(≤M（E［0，1]).对任给>0,取8>0，使得1f（）<（0<<）.我们有（不妨设<)
第1章定积分32：dr()e(1)e,[M- M(-1)(1)0 (70+).由此即得所证，(2）由题设知，对任给>0,存在>0，当|-<时，f）一f")<由此知存在N,当n>N时,使得|(+,年）-}(a)<.我们有22[(++*)-()]-22(a+单n)年-2()+22[(+单)(]1+1n?+k?2+(2()m2 ()1+(k/n)2n(+)();[1/22+kbAk+2 元"(+)-f(a)|n?+k2SAMSk2++2e(1 f(r) /≤M,0≤r≤1).+n+k2易知上式第一项当n-→oo时趋于0；而第二项小于2e，从而即得所证（3）不妨设|f(）≤M(rE[117).由题设知，对任给>0，存在8>0，当°hf(0)d→f(0)(h→0+),我们-"<时有f()-f(")<.而h2+3有" hf(a)dr-" hf(o)dzh2+r2J8h2+ra hlf()-f(O)ldr +"hLf()ld-8 hlf(r)ldzh2+3h2+2h2+ohdrhdrhdr+M-Ml8h2+12-1h2+Jsh?+r上述最后三个积分均为反正切函数取值，注意到18lim：0(arctanarctanhh即可得证（4）应用不等式sing≥20/元（0≤0≤元/2），可知
1.3变限积分、原函数·3320#d<元srnotdesa从而有tsdo=limsintd≤lim-1元=0limtD例1.2.16设fEC)（[a，b])，作[a，b]的等分划，且令b-af(r)h,f(r)dr,S.=br=a+h,n则limn(S-I)=(ba)[f(b)-f(a)/22 f(a;)dz-S,-I=>f(r)da证明2[" (at-a)f'()dz.[" [f() -f()Jdr = >记m，M为f（α)在[ri-1,r］上的最小值、最大值，则mih2/2≤[(αi-r)f"(E.)dr≤Mh°/2,b2mh<n(S. -I)≤2Mh.222之mh 与≥M,h 均在 n-→时趋于 f(r)dr，即可得证令n00，并注意-1.3变限积分、原函数设fER(La,b])，则对于任意取定的：a≤≤b，有fER([a，]).因此，积分f(t)dt,rE[a,b]的值随上限的值而唯一确定，它是的函数，我们称它为f(α)在[a，b]上的变上限积分.这是个以新的面貌出现的函数，若F(α）是[a，b]上可积函数f(α）的一个原函数，则根据N-L公式可得f()dt = F(r) -F(a),xE[a,b]由此知dIf(t)dt = F(r) = f(r),xE[a,b]因此在这种情形下，f(r)的变上限积分是f(α)在Lα，b]上的一个原函数，且按过去的记法，写成[f(r)dz=f(t)dt+C,xELa,b]注意，这一公式只在具有原函数的前提下才成立，而我们已熟知一个事实：可积函数不一定具有原函数.此外，企图在式中以不同的α值来获得所有的原函数也是不行的
第1章定积分34那么，究竞在什么条件下，一个函数必有原函数存在呢？下面给出一个充分条件引理1.3.1设fER([a,b])，且在点roE[a,b]处连续，则其变上限积分f(t)dt在点a=zo处可导，且其导数是f(ro）定理1.3.1若fEC([a，b])，则其变上限积分f(t)dt是f(ar)在[a,b]上的一个原函数：f(t)dt f(x),E [a,b].推论设fEC([a,b]),且有定义在[c,d]上的可微函数(r),(),满足a<(r)<b,a<以()≤b,xE[c,d]，则函数F(r) =f(t)dt,xE[c,d]在[c，d]上可微，且（看成复合函数）-( ()(),1注1连续函数f(t)的变上限积分的微分公式也可写为limf(t)dt=f(r)oArJ注2［α，上可积但不连续的函数也可能有原函数，ro,x=0,[sina]ro,X注3函数f）p(x)1r丰0.sin(1/2,1=0r在[0，1]上有原函数.事实上，作函数11[2xcos2cos0<r<1,0<r<1,2h(r)g(r)to,0,x=0,1=0,则h(z）（连续函数）有原函数.由11-sin0<x≤l,g(r) :X310,x=0可知f()=g（r)一h(z)(0<r≤1).这说明f(z)存在原函数.作函数[z/2+( /4)sin 2,J晋sin2x=0,102g(r) =h(r)Ilo,Lo,1=0,r=0.则g(r)=g(r)一h(r)有原函数注4设f(r)，g(r)在[a,b]上均有原函数，但乘积f(r）·g(r)在[a,b]上不一定有原函数，例如：'sinr$,rcosr-3,x+0,10，f(α) 一G() 0.=o,T=0,则易知[2sinx-cosx-3+3sin，≠0f(α)G'(z)=1.0,r=0
1.3变限积分、原函数·35[21sinz-cosz-3-3cos-3，0,f(r)G(r)=0.2=0.作函数{3，工0() =f()G(α)-f()G(α) lo，工=0注意到f()G()+f()G()=[f()G(),可知若f()G()与f()G()中有一个具有原函数，则另一个也必有原函数.由此立即推出Φ（z)具有原函数.然而Φ()是没有原函数的(第一类间断点).这一矛盾说明，f()G()与（)G(）皆无原函数.但有下述结论：f()在[a,b]上有原函数F(),G()在[a,b]上可微，且G()在[a,b]上可积，则乘积f()G(r)在[a,b]上有原函数定理1.3.2若fER([a,b]),则其变上限积分f(t)dt(rE[a,b])在[a,b]上一致连续f(x)dz = Jimj f(r)dx=Jf(r)dr.推论1若fER([a，b])，则lim推论2设fER([a，b])，且在开区间(a，b)上f(r)有原函数F(z)(i)若F(r)在[a,b]上连续，则"f(r)dr=F(b)一F(a);(i)若在点a，b上有limF(r)=A,limF(α)=B,则f(r)dr=B-A=[F(b-)-F(a+)]例 1.3.1求下列极限：1[(1 -cotu)du(1) I = lim -(2) I = lim-0r2J。/u1[in P兴d(α>1;P(),Q(t) >0,多项式).(3) I= limQtsint dt)dy/x3.(4)=1liml解（1）注意到1/u一cotu-0（u-0），我们有（用LHospital法则）1/α-cotz-limsinr-coszI=lim2a2asinzT+01-0Lsinr-rcostlimzsinr-lim$213606元21--0me12fed(2) I = lim elfa/dlim1+2,2lim 2re / (2ed)+2re)02+2-InP(z) - InQ() = 0.(3) =limaz-irsinz?2x:(sint/t)dt21(4) 1= limlim3元26x3°1+0