第1章定积分26["f(r)dr<a'f(a)dz.(4）设fEC([a，b])，在（a，b)上可导，f(a）=f(b)=0,则Trodk agiron证明月（1）不妨设roE（a，b）且f(ro）一max(f（α）)，则由题设知F(a)≥()=f((α-b) + f(b) (a≤r≤b),To-b((z)dz≥()=((-(=b))+ f(b)(6-0)2to-b(z))(b 20) ≥(b 0).22类似地可得" f(a)dz≥f(o)(zo—a)/2.两式相加即得所证。(2）对E（0,2)，作f(）在=0,2处的Taylor公式：0<<，<<2，f(r)=1+f(s),f(α)=1-f()(2-r)由此知f(r)≥1-r，以及f(r)≥r一1.故得Jf(a)dr≥(-)dz-,[" f(r)dr ≥"(r-1)dr = 一.但据题设，不能有f(）=1—（E[0,1])；f(）=—1(E[1,2]).从而得Jf(r)d = J,f(a)de +J f(a)da ≥1.(3)因为(a)=("f(t)ds) ≤(r-a)[Lf(t)"dt,所以["f(a)da'f(a)da·f(a)d='f()dz（4）不妨设sup/f（α）/)=M<+，则对E[ab]，有lf()-f(a)=lf()llr-al<Mr-al,If(α)-f(6)/=/f'(2)//α6l≤M/r-6l.由此知['f(a)da≤J 1 (r) da + J f(a) dz=[ I f(r)f(a) dz+JIf(α)-f(b)|dzM(-a)dr+Mf(b-)dM(b-a)".A
1.2微积分基本定理:27例1.2.8试证明下列不等式：(1)设fEC(2)（[0,1]),f(0)=f(1)=0,f(α)≠0(0<r<1),则[f"(α)dr>4o/f(a)(2）设fEC(2)（[ab)),且f((a+b)/2)=0,则(b-a)3f'f(z)de 24 max( f(x) ).证明（1）假设=（0,1）为|f(α)/的最大值点，最大值为y=f（o）.（不妨认定题设目标式左端积分是有限的，参阅反常积分相应章节.）yo = f(zo) = (zo) -f(O) = f(6),01o-0Xoto- yo = f(1)-f(zo) = f(52),<<1.11-20Co从而|dr>"(a)]dz>(a)drfC1yo-yof()(G)yT(1-o)ZoTo注意到函数α(1一r)在r=1/2处取到最大值，故结论得证a+b2f"()(2)由展式()=(a)(a+b)可知222a+b))d=()()da+(da222从而有（令M=max(/f"（α）1)）15(a)dr(-)dr=(b-a)"M.tM.i(a-atb)"224试证明 sin(2n±1)dz (n = ,2,).例1.2.9sint证明 引用公式 sin(2n± 1)= 2(+≥cos2kz)(约定 =0 时,左端=sinr2n+1）可知[2 sin(2n+1)Idr :（+cos2kr）dr+2cos2krdr12sinr10注意到 cos2k 的原函数是inzk,有2k
第1章积分· 28·定号ksin2k 1元cos2krdx =sin(2k . 0) = 0.22k例1.2.10试证明下列极限等式：(1)设fER([o,1),则I=limrnf(r)dr=0(2)设fEC([o,1]),则limnrr-1 f(α)dr = f(1)(3)linsin"rdx = 0.证明（1）设|f(r）/<M(0<x<1)，我们有Il≤ lim/"| f()|dr ≤M. lim/""dx = 0.oJ（2）对任给=>0，取：0<<1，使得1f(α)-f(1)/<e/2(11).又存在N，当n≥N时有（1-）"<e/2M.从而有nf,a" f(r)dz- f(1)|= n|f- f(r)dz-fr f(1)dr≤n/a-1/ f(α)-f(1)/dr + -()-()]dcnrida+on!<2M.n"-dz= 2M.(1-8)"+号0号+=(n ≥ N).(3）对任给e>0,取8:0<<e/2,又取N,使得0<sin（-)<e/(n≥N)[ sin'rdr =(+sin"rdr +I2.[sin()]()=(n≥N),1312<≤[-(-)]=<号,由此即得所证例1.2.11试证明下列问题：(1）设fEC(1)（[1,8J)，且0<f（α）<1/z2，则存在极限limf(n)(2）设fEC（一80,8)），且是以T>0为周期的函数，则
1.2微积分基本定理.29limF()d=F(d.（3）设正数列（an）满足lim"a"dx=b>0,则liman=1证明（1）由f（r）>0可知f（n））是递增数列.又因f(n)-f(1)=J(a)dr<"=1-1<1所以（f(n））是有界列.由此即得所证(2)不妨假定f(α)≥0(否则以M一f()代替f(),其中M是f()的上确界）.对任给r>0,存在n，使得nT<a<（n十1)T.由题设知f(t)dt=nf(t)dt,f(t)d≤f(t)d≤()de f(t)d≤(n+1)T]。(n+1)）1[(n+1)f(t)dt.≤。从而可得。()d≤()df()d,T令-→80结论得证artl1[rdr=+(3) (i) Tn+i(ii)令b,=a+1/(n+1),则bn→b(n-0).此时有an=(n+1).b,+，(n+1)-→1(n→0),以及 limb, limeb，=e° 1.因此得lima,=lim(n+1)市.limb,=1.例1.2.12（Riemann-Lebesgue引理）设fER([a，6）则linf(α)sinardr = 0证明因为fER(La,b])，所以对任给的e>0,存在[a,b]的分划△：a一<r,=b,使得a:(f)Az;<号。不妨假定|(2)/<M,zE[a,b],则ro<r<当^>4nM时,我们有J'f()sinazdr-"[f()+ ()-f(z,)sinardz≤() simzde+ (a)-f(,)|I sinazldz
.30.第1章定积分cosar,-cosax)X<MZw(f)da入iJM"2nM +%DCwi(f)Ar,<E22入==1例1.2.13试证明下列极限等式：17secein-4(2) / = limsin/(b=2(1) = limn4n元nn.元=1as2i/nn(4) I = lim1元2十记In2n2in+1/i证明（1）注意到sec2x在[0，元/4］上可积，我们有1=lm2/44 /x/44远..44Sece一sec"rdtanr4n4n元元J。元元0i=1k元.1sin（2）乍看I，有点像函数sinr在[o，元］上的积分和：台ntknn2sin,limsinrdr =12nn但实际上不是，其不同之处就在乘积因子1/（n十k/n）.因此，我们要把它化去，为此，运用放大缩小的方法：12sink1.kn.元sin<InA元台n+i?nn由此令 n→00可得 [=2.元（3）（i）首先我们有n1Cn?dzn1arctann?+台i+(i/n)21+2n.0(ii）其次我们有（n>k）1nn11n+#1+(i/n)2n11Ckdr因为arctann<元/2，且有limarctank，所以1+(i/n)2Jo1+rnn2Tn+i（4）根据不等式2i/n21/n>2%02/n>2%，=2(F-1)/n2i/n1+1/m>1+1/mi1+1/mi