第1章定积分·36·例1.3.2解答下列问题：（1）试给出a与b的关系，使得极限lim（景+号dt）存在1Ztdt-=1（2）试给出正值a，b，使得limmbx-sinz。a+t解（1)改写函数为+ed=(a+ed)，则要求3lim[a+bed0,lim"e dt/x =-arlbdt/r lime因为li=1，所以给出一a=6，即α十6=0.（2）注意到(/Va+)dt/→0(→0)，故.1_td1lim b-sint/aJ。 Va+i-1要求6=1.从而原式可写为13/6tdt6r=limd1=lim/6+0()。Va+3oa+t= lim 2r°/ Va+± 22Va由此可定a=4.最后给出α=46=1.例1.3.3试证明下列命题：(1）设fEC([a,b))且是递增函数，则对任意的rE（a,b),有不等式11f(t)dt<f(t)dt≤f(t)dt（2）设f(α)是[0,αo）上的正值连续函数，则函数F(α)=tf(t)dt/f(t)dt在(0,0)上递增(3) "_xdt(r≠0).J11+Jit证明(1)令F(r)=["f(t)dt/(α-a）(a<r≤b),则(r-a)f(r) -["f(t)dtF(I)=≥O(a<r<b).(r-a)这说明F()递增，故F(r)≤F(b).此外，G(α）=f()dt/(b-）（a<r<b)也
1.3变限积分、原函数37是递增函数，故有G(a)<G(x）.(2) F() =[f(a)f,f(0)dt- f(a)ftf()d]/(f f(t)de)f(r)[f(t)dt -f(α) f(t)dtI=0("f(t)dt)"1/zdt(3)令F(z) =,-(0),则1F(r) =1+r2-1+(1/a)由此知F(r)=C,但F(1)=0,故C=0.证毕例1.3.4设fEC()((一8,)),且f(0)=0,令f(t)dt/，x≠0,F(α)x=0,0则FEC(1)((-80,8))且F(0)=f(0)/3证明(i）当≠0时，显然F(α)是连续的.由F(α) =[ f(r) -2a"tf(t)d / = f(α) - 2tf(t)dt/z可知，F（)在r0处连续(ii）当=0时，因为limF(）=limzf(α)/2=f(0)/2=0，所以F()在r=0处连续.由limF*(x) =lim f(z) - lim2[rtf(t)dt /±=lim f()=f(0) - lim 2() = f(0) --号 lim(α）= f(0)/3,1-03元3-0I可知F（)在=0处连续，证毕.例1.3.5解答下列问题：(1)设fEC([0,元/2]).若有"f(t)dt=1,以及cosrf(t)dt = sinr" f(t)dt(0≤≤元/2),试求 f(r).(2)设fEC((0,00)),f(1)=3,且Jf(t)dt=f,f(t)dt+yf(t)dt，试求Tf(r).(3)设fEC(-80,0)).若有 f(α)=[f(t)dt,试证明f(r)=0
第1章定积分·38:（4）设fEC(（00）)且在[0,A]上有界.若有Jetf(t)dt ax ff(t)dt(x>0),试求f(r)(r>0).解（1）因为f(t)dt = sinz"f(t)d=(1-f(t)dt)(),COSTCOSTsinx所以)a(2）在题式中对求导，可得f(zy)y=f(t)dt+yf(r).令=1,可知f(t)dt+3y.在此式两端再对y求导，得yf(y):f(y)+yf(y)=f(y)+3，f(y)=3/y由此得f(y）=3ny+C.取y=1，我们有3f(1)=C故f(x）=3lnz十3(3）作F(z)=ef(r),则由f()f()可知F(r)=e"f'(r)-ef(r)=0.由此得F（r）=C，即f(）=Ce.取r=0，由f(0）=0可知C一0.证毕（4）在题式中对求导，我们有f(t)dt+arf(r)af(α) = (> 0).在上式两端再对求导，有(1-a)rf'(r)=(2a-1)f(α)(x>.0).若α=1,则易知f(r)=0；若a1,令F(r)(a-1)/a-1) f(),可得-[-]-。(α> 0).由此可知F(r)=C,即f(r)=C·α(2a-)/α-a)例1.3.6解答下列问题：do(1)求I=cos(元t2)dt.drCOS2所确定，且令="（1+）du试(2）设t=t()由参数方程sinz求dy解（1)[=cos(元cosr)(一sinx)一cos(元sinα)cosx(2）因为
1.3变限积分、原函数·39￥二-是，=(1+e）costdr4tdt所以得到/=co%（1edt/dt4t例1.3.7试证明下列命题：(1）设fEC（[a，b])则f（r）=g（a）+h（r），其中g（r）在[a，bi上递减，h(r）在[a，b]上递增(2）设f(r)是[0,1]上的严格递增的连续可微函数，且f(0)=0，g（)是f(α）在[0,1]上的反函数，则f(t)dt-(01)g(t)dt = af(r)(3)设fEC((一0,)),且存在数列(αn),使得f(α)dr=0(a,b≠αnn=1,2,…)，则f(r)=0.（4）设fEC([0,o)).若存在极限lim (f(r)+ [" f(t)dt)= 1,则 f(r)-→0(r→+00).证明（1)f(a）=f(a)+f(t)+If()/Jdt+号f(t)I f'(t) /Jdt.(2) 作 F(r) = f, f(t)dt +J" g(t)dt-αf(r),则 F(a) = 0,F(0) = 0. 由此即得F(r)=0.证毕（3）取定cαn（nEN)，并作函数F（）=f(t)dt.则F(r)=0(rαn;n=1,2，…）.对任—αn，可作）α（=1，2，.）且—α（k-o0）.由f的连续性可知F（αn）limF（α）=0.由此得F（α）=0，而F（）=0=f(）.(4) 令F(r) =[f(t)dt，则F(α)=f(α)(0<r<+8).从而有lim(F(r)+F(r)) = l由此即得F(α)→l(→十0)（见第册第5章）.因此F（)→0(r→十)，即f(r)→0(r→+).例1.3.8解答下列问题：（1）设fEC([a，b]).若存在8>0，且对区间[a，b]中任一子区间[α，]，均有J'f(z)da≤MIβ-αl+8,则f(α)=0(a≤r<b)
第1章定积分40."dz.（2）计算定积分1=f(t)dt≤MIAr18证明（1）由题设知，对任一E［a,b］，均有根据f(r）的连续性，可得（令△r0)/f()=0(a<r<b)（2）在0时，易知x-1+c2+arctarV212x1这说明在[—1,0)，（0,2]上，注2工的原函数之一是F(α）：arctan1+N2V2x元元因我们有F(O+）=limF（α）=F(0-)-limF()=所以得到2/22/2a+娃d-1+rJ。1+x3/2=F(0-)-F(-1)+F(2)—F(0 +)=V24例1.3.9试证明下列命题：(1）设f(r)是[a,b]上的正值可积函数，则存在E（a,b)，使得'f(r)de =f'f(a)dz = 'f(a)dz.(2）设f(z)在[0,1]上可微，0≤f（α)≤1(0<x≤1)且f(0)=0,则(T"f(r)dx)"≥Jf(a)d.(3）设fEC((0,co)).若对任意的正数a,b,积分f(r)dr的值只与b/a有关，且f(1)=2,则f(）=2/(0<r<+c）(4)设fEC(0,o),且对任意的正数a,b,积分f(z)dr的值与a无关，则f()=c/证明(1)令F(r)=[f(t)dt-["f(t)dt，由于f(a)的正值性,可知F(b)>0,F(a)<0.根据F(α)的连续性，可知存在E（a,b),使得F(s)=0.即J' f(r)dz = J'f(a)dz.此外,由f"f(z)dz =['f(r)dr+['f(r)dr=2f f(a)d 可得后一等式.（2）运用从变动中考察常量的思想，作