1.2微积分基本定理.21In(1+) =(≤[±=arctanr.J。1+z1+t(3）注意，函数f()=1/(十1)(2—）（0≤r≤1)在r=1/2处取到最小值4/9，在z=0和1处取到最大值1/2（4）0<sin≤1(0<元/2)例1.2.2解答下列问题：(1）求定积分VaTdr(2)证明 In(q/p)<(g-p)/p(0<<g)（3）求下述定积分之值：(i) I =-f'(I'min(,yidy)dr.(ii) I -[(J,max(r,y)dy)dr.证明（1）将被积函数写为3/2/（z0），再求原函数(2)因为Ia/)-(2),所以有力力(3) (i) 1=(f,zdy+,ydy)dx =Jdy+(-号)dz =号例1.2.3解答下列问题：da(1)试证明I=J。 1+(anayz乎（2）试证明I=(sing-cose)In(sing+cose)dg=0.(3）设P(α)是n次多项式，且有aP(x)d=0(k=1,2,…,n),试证明'p(r)dr = (n + 1)(f'P(r)dz)*.(4）试判别定积分I=（1+)(z)dx的值对满足fEC([0,1)）且f()da=1的f(a)何时达到最小？证明（1）记f(）=1/[1+（tanr）/2］(0<≤元/2)因为()+(s)=1+[tan(x/2-)+1+(tana)1+(cotr)+1+(tanz)(tanr)z1+(tanr)+I+(tanz)=1
第1章定积分22.所以函数y=f(z）的图形关于点（元/4，1/2）对称（见图1.2.1).因此I是矩形面积的一半，1=元/41元/4元/2图1.2.1(2) I=(sin-cos)ln(/2sin(+元/4))de= ln z[" (sine cos) de + J,sino . In(sn(0+)ddcos.In(sin(+）)doI+ I2 13.易知I,=0，又有 sin(0). In(sin())dg12-1 cosp In( sin(g+))dp= I3s从而即得所证(3）记P()=an"+an-1"-++ao，由题设知1 p2(α)dx = aoJ, P(r)dz.a+an-l+.a（k=0,1,2，…)，所以存在至(r)drk+1n+k+1n+k多n次多项式Q（），使得Q(k)a,ao(*)-(k+1)...(n+k+1)'n+k+1k+1Q(k) = A(k --1)(k -2)...(k -n).在式（*）中取k=0，可得Aanal+.4 = (-1)P(x)d =n+1n+11n现在以(k+1)乘（*）式，再令k—1，知a=（一1)"（n+1)A.从而有a=(n+1(r)dr
1.2微积分基本定理.23.（4）因为我们有[S5()dz1 =|f(x)d|= V1+<((1+2)()da)" ()(f(+)(a)ds).,所以可断言I的最小值为4/元.实际上，取f（）=4/元（1十±2）就使1=4/元例1.2.4试证明下列命题(1)设fEC(1)([0,1),且f(0)=0,f(1)=1,则f'If(x)-f(a)ldx≥1(2)设f(r)在[a,b]上可微，且fER(La,b]),则If()f()/≤Ml-|1/2（3）设f（）在[0,2]上二次可导，且有f（1)=0，/f"（）/<M（0≤r<2），则['5(a)da]≤.证明（1）作F(α）=e-f（z），则1 =F(1)-F(0) = f"F(r)dz<["IF(α)I dr≤/"I f(a) -f(α)/dr.(2）令M=（(t)|dz）2，我们有If(y)-f()/="f"(t)dt≤f'f(t)|dt≤("f(t)/’dt)"y-r|1/2≤("1f()*d)21 -/1/2.(3）作f(r）在r=1处的Taylor公式f(α) = f(1) + f(1)(α-1) + f()(r-1)/2,（位于与1之间)注意到f(1）=0,f(1)(α—1)da=0,可得Ff(z)da-'tf(r) -f(1) -f(1)(-1)Jdr(1)da5
第1章定积分24例1.2.5试证明下列命题：(1)设fER([0,1).若f()dr=0,I f(α)-f()/≤Ml(0≤,≤1),则()(n = 1,2,...)2I["I sint | dt =(2)lim元(3)设a,d>0,且令As = Z(a+ kd) /n,G,="a(a+d)...(a+(n-1)d),一0则limG,/A,=-2/e.J.f(z)dz = (+1)n1"f(r)dx，所以得到证明(1)因为0=()=()-2" (a)dz"f(r)-f()dr≤MRldn=MF1-M22n（2）对≤<（n+1)元，写出=n+（0≤<元），我们有1I sint| dt| sint|dt+I sint|dt元十入C()1"I sint dt +Isint|dtn元+入元+入2nI sint| dt -→2(n → 00).n元+入元十元（3）记b=a/d，我们有(a + kd))a-G =d . /b(1+b).(n 1+7nbb+1...b+ndn(n-1)an"bb+1.b+n-(%+"a))nnn易知上式分母当n-8o时趋于1/2，对分子我们有
1.2微积分基本定理.25.分子=e(）+=e2..对上式乘积中第一和第三项有估计：lim1ln，=0nnn(1+)n台kn<1=b(ln(n-1)+eri +C)→0 (n→8),k从而得到e2m(//()= eld/(+) = e- /()GnlimA.例1.2.6设fEC(（一80,00））,且有f(r)<f(y)dy(h>0,-8<r<8),则（i）f()在任一闭区间上的最大值在端点上取到.（ii）f(a）是上凸函数证明（i）反证法.假定存在闭区间La，b]，fr）在cE（a，b）上取到最大值f(c)，且b-c<c—a，则取a，使得c-a=b-ch>0,再取boc<bo<b，使得f(α)<c(bo≤r≤b).从而有(c)(dy=(y)dy=(y)dy+()dy≤f(c) b=+1[, ()dy< f(c) = + f(e) b=b+2hJ2h2h2h=f(c) = f(c).2h这导致矛盾(i）设L()是线性函数，则它满足题式（实际为等式).现在取L(z)=[（一a)f(b)—（—)f(a)/(b—a)，且考察G()=f(）—L(),易知G()满足题式，故G(r)在r=a或=b处取到最大值.但G(a)=G(b)=0,因此得到f()<L(r)(a<r<b).例1.2.7试证明下列不等式：（1）设f（α）是[a，b]上的非负上凸函数，则75(a)d≥mg(a),(2)设fEC(1)([0,2]),f(0)=f(2)=1,1(r)|<1(E[0,2]),则f(a)dr > 1.(3）设fEC(1)（[a，b))，f(a)=0，则