16.第1章定积分(ii)对任给e:<e<M,存在[α,β]<[o,1]，oE[α,β],使得|f()/≥M-e/2（rE[α，]）.从而有(f" f(α)|"da)"≥ (/f(x) /"dz)"≥(M-e/2)(β-αa)/n.现在取no，使得当n>no时有（β-α）1/"≥（M一e)/(M—e/2).从而可得M-e≤('If(r)/"da)"≤M(n> no).由此知该极限值是M.（2）我们有I-f"f(r)g(a)da|(6)]g(r)dz-(c) g(e)dz+f(s)g(G)Az -"f()g(a)dx|21f(s) Ig()-g(e)/drZf(c)g(6)Ax; -["f(r)g(r)dr(*)不妨设lf(r）<M(a<α<b），此时有（*）式右端第一项≤Mw;(g)Azi（**）由于△-→0时，（**）式右端的极限为0，随之左端的极限也为0.而（*）式第二项的极限为0是根据f(z）g（z）的可积性.证毕。（3）应用不等式/一1n（1+α）≤α2（/≤1/2），则I,=(n[1+()())()A.+B.易知 limB,=f(r)dz.又(设|f(α)/<M)IA.[1+()()()--(n-→00).in2n2n这说明limI，(r)d例1.1.18试证明下列命题：(1）若fER(La，b])，则f(r）的连续点在a,b]中稠密，即[a，b]中的任一子
1.1定积分的概念、可积函数及其初等性质.17.区间中都有f(r）的连续点(2）设fER([a，b)),且有m<f(α)≤M.又设βEC([m，M)，则gLf()]在[a,b上可积.（例如，若fER([a，b)，gER([a，bJ),且f()≥m>0(a<r<b)，则F(α）=f()g()在[ab]上可积.）(3)设fER([a,b])),则对Ve>0,存在gEC([a,b]),f(b)=g(b),f(a)=g(a),使得1f(a) -g(α) [ dz<e.(4）若fER([a,b]),则存在gEC(La,b])(k=1,2,...),使得lim/"1 f(r) - g,(x)|dx = 0.(5）设fER([a,b]),则lf(+h)f()/dx=0,lim/其中假定对任意的h>0,f(b十h)=f(b)，f(a一h)=f(a).证明（1）假定[a1,b,是[a，b]中任取的一个小子区间.因为fER([a，b])，,存在对[ai,b,的满足I<所以对E1(br一ai)的分划A,使得Z"aiAr; <e (b - ai).这里(1表示对分划△：的分点指标求和由此可知，必有指标i，使得wi,<e1.为方便计，记w,为(1)，其所在的区间[-1,］记为[a2，b2]，显然有1<=b2-a2<(biar),2又因为fER[a2b2)，所以对2=，存在对［azb2］的满足l<1(b—2)的分划 A2,使得E"Ar <e2(b2 - az).与前述推理相同，此时必有△2中的某个子区间，且记为[α3,b],使得f(r)在其上的振幅（记为(2)）小于ε2.易知b2 - a2 bi - a11b3-a3w(2) <E2 22222再以同样操作处理[a3，b3]，并依次进行下去，可得[ai,bD[a,b2]D...D[an,b,lD..bi-al1ce(m<enb,-an2-12元
第1章定积分.18.根据区间套定理可知，存在E［an，b，n一1，2，易知f（α）在点r=处的振幅为零：Wr()=0.这说明r=是f(）的连续点（2）（i）因为（y)在[m，M上一致连续，所以对任给的>0，存在>0，使得当[M且<时，有）)/<（ii）由f(的可积性知道，对上述>0以及任意的。>0，存在[a，b]的分划△，使其子区间分属两类：（A）在每个子区间上，f（α）的振幅大于的这些子区间长度的总和小于。；（B）不属于（A)类的子区间(ii)令F()=f()],它在[a,b]上的振幅记为Q(F)，且对此分划△的第i个子区间上的振幅记为（F），由于在（B）类的每个子区间上，f（）的振幅小于或等于，故F（）在其上的振幅小于e.从而我们有Z(F)Ar=a(F)Ari +w(F)Ar(B)(A)≤(F)Ax: +ZAxi <Q(F)+e(b-a).(A)(B)由此易得FER([a，b])(3）由f()的可积性知道，对任给的e>0,存在分划△：a=o<x<<,b,使得>w（f)△r<e.现在，在[a，b]上作连续函数g（r）如下：g(a) = ()+()=((a), e[+(i=1,2, ).T一即在每个区间[i-1,a上，g()是连结两点（i-1,f(i-))与(,f(,))的直线易知|f()—g()|<(f),E[-,α,(=1,2,",n).从而有["1f(r)-g(r)]dr =]" I f(r)-g(r)|dx<a(f)Ar;<e.1（=1,2，），易知存在gEC(Lab)，使得(4)取"if(r)-g(a)ldr<(k =1,2,..).令k-80，即得所证(5）由命题（3)可知，对任给的>0,存在gEC([a，b)),使得[1 f() - g(α)|dr<号约定对任意的h>0，令g（b+h）=g（b），g（a一h）=g（a）.我们注意到（见命题（3））f(a)=g(a),f(b)=g(b),故有1f(α+h)-g(r+h)ldx="/f(t)-g(t) |dt
.191.1定积分的概念、可积函数及其初等性质<f"1 f(t) -g(t)/dt<号现在，根据g（)的一致连续性可知，对任给的e>0，存在>0，当|h|<时，有|g(α+h）g(z)<号(ba).于是得到if(a+h)-f(a)Idxfif(r+h) - g(α+h)/ dzIg(r+h) - g(a)|dx+[b(/ f(α) -g()/da<号+号+ 3(6b=a)((b-a) = e.例1.1.19（Jensen积分不等式）设fER([o,1])，且m≤f(α)≤M，rE（[0，1])，又连续函数p（α）在[m，M)上是（下）凸的，则p(f,f(z)dz)<f'pLf(r)]dr.三i=o,l,,n），取插点为s-证明将[0,1]n等分，即Az:ii=1,2，，n）.由o（x）在[m，M上的凸性，不妨假定EC([m，M），则注意到g()的连续性以及gf()的可积性，当n-oo时有e(f" f(r)da)≤.p f(r)Jdx.若fEC(La,b])，则对任给的e>0,存在[a,b上的阶梯函数例1.1.20g(α),使得/ f(r) -p(r)/ dz<e.（所谓[a，b]上的阶梯函数，是指定义在Lαa，]上的有限分（区间）段函数，在每一小段区间上，该函数是一个常数）证明对任给的>0,存在[a，b]的分划△：a=αo<ai<…<=b，使得7w（f)△i<e.现在作阶梯函数(α）如下：(f(r-),rEE-i,a,],(i= 1,2,".,n-1).p(x):lf(n)，rE[a-an]我们有
.20.第1章定积分["1f(z) -(r)] da=[" If(x) -g(x)]dzw;(f)Ari<e.1.2微积分基本定理定理1.2.1（微积分基本定理一一Newton-Leibniz公式）设f(α在[a，b]上可积，且在[a,b]上有原函数F(a),则f()d=F(b)-F(a)≤F(z)19（此公式也简称为N-L公式.）注1注意到f(r)是f(r)的原函数，故当ER([a,bJ)时,N-L公式可写为f'(r)dz=f(b)-f(a).注2上述定理并不是说可积函数一定有原函数，而是说如果存在原函数，那么可用来计算定积分的值.例如-1,0≤r≤1,f(r)=1.1<x<2,在[0,2]上可积，但在[0,2]上不存在原函数。此外，即使有原函数存在的函数也不一定可积.例如在一1，1]上的函数ro,α=0,F(α)rsinx丰0，L是函数f(0)=0，f()=（≠0)在[-1，1上的原函数，但fER（L-1+2rsinO1]).注3存在[a,b]上的可微函数，且（r)在[a，b]上有界，但了（r)在[a,]上不可积例1.2.1试证明下列不等式：719(1)11dr2020V/2Jo1+(2) ln(1+r)≤arctanr(0≤α≤1),edr(3) 鲁(e-1) <(e-1)0（+1)(2-)4)"sin'rdr<sin'rdr.证明（1）注意19//2≤19/V1+≤19（0<x1），再作定积分（2）注意到1/（1+t)≤1/（1+t）（0≤r≤1），可知