第二章矩阵与向量 设m×n矩阵A的行向量组cg,a2,.,am且 01 a a a;+kaj i+krj A= =B j
第二章 矩阵与向量 1 2 , , 设m n A 矩阵 的行向量组 ， m ，且 1 1 ~ i j i j i r kr j j m m k A B + + = =
第二章矩阵与向量 由 C1=0C1 0.0。● a;=(a;+kaj)-kaj 。●。0。● dm=am 可知，矩阵A的行向量组可由B的行向量组线性表示 显然，矩阵B的行向量组可由A的行向量组线性 表示.所以，矩阵A、B的行向量组等价.从而矩阵A、 B的行向量组的秩相同. 同样的方式可证明对阵做一次第二第三种类 型的初等行变换，可到矩阵的行秩也相等
第二章 矩阵与向量 1 1 ( ) i i j j m m k k = = + − = 由 可知，矩阵A的行向量组可由B的行向量组线性表示. 显然，矩阵B的行向量组可由A的行向量组线性 表示.所以，矩阵A、B的行向量组等价.从而矩阵A、 B的行向量组的秩相同. 型的初等行变换，可得到矩阵的行秩也相等。 同样的方式可证明对矩阵做一次第二第三种类
第二章矩阵与向量 定理2.4.1亦可作为初等变换不改变线性方程组中 独立方程的个数的理论依据 定理2.4.2初等行（列）变换不改变矩阵列（行）向量 间的线性关系， x1C1+x2C2+.+Xnan=0 41X1+12X2+.+01mXn=0 021比1+22X2+.+2mn=0 mlX1+am2X2+.+amn=0
第二章 矩阵与向量 定理2.4.1亦可作为初等变换不改变线性方程组中 独立方程的个数的理论依据 定理2.4.2 初等行(列)变换不改变矩阵列(行)向量 间的线性关系. + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 m m mn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x x1 1 + x2 2 ++ xn n = 0
第二章矩阵与向量 KB1+x2B2+.+xnBn=0 021x1+022X2+.+42mXn=0 01X1+12X2+.+41mXn=0 mlX1+am2x2+.+0mXn=0 即有 101+x20a2+.+xnCn=0 当且仅当XB1+x2B2++xnBn=0 同样的对另外两种行换得到类似的结论
第二章 矩阵与向量 x1 1 + x2 2 ++ xn n = 0 + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 m m mn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x 即有 x1 1 + x2 2 ++ xn n = 0 当且仅当 x1 1 + x2 2 ++ xn n = 0 同样的对另外两种行变换得到类似的结论
第二章矩阵与向量 1 30 例3设矩阵A= 0 2 -15 其列向量 60 24 1,%2,0%3,间有线性关系：a4=1+22-a3, 矩阵B由矩阵A经过有限次初等行变换得到 验证B的列向量B,B2,B,B,间也有线性关系 B4=B+2B2-B
第二章 矩阵与向量 1 2 3 4 4 1 2 3 1 2 3 4 4 1 2 3 1 1 3 0 3 0 2 1 5 6 0 2 4 , , , 2 . , 2 A B A B = − = + − = + − 例 设矩阵 其列向量 间有线性关系： ， 矩阵 由矩阵 经过有限次初等行变换得到 验证 的列向量 间也有线性关系