考察数列(e)=a+-（的收敛性，下面的证法-是最基本的，而教材上的证法技巧性较强利用二项式展开，得0...111 n(n-l) 1+n-n"2！n!nn1(1--)+(1--)(1-2)1!2!n3!n1-(1--)(1-2).(1- n-(1)十+n!n后页返回前页
前页 后页 返回 1 (1 )n n e n 考察数列 的收敛性,下面的证法 = + 利用二项式展开,得 1 1 2 1 (1 )(1 ) (1 ), (1) ! n n n n n − + + − − − 是最基本的, 而教材上的证法技巧性较强. 2 1 ( 1) 1 ( 1) 1 1 1 2! ! n n n n n n e n n n n n − − = + + + + 1 1 1 1 1 2 1 (1 ) (1 )(1 ) 1! 2! 3! n n n = + + − + − −
由此得21(1--)(1en+i =1 +S1!2!3!n+1n+1n+12001nn+ln+1+21n)(1(1X(n+1)!n+1n+ln+l把e，和e,的展开式作比较就可发现,e,的展开式有n+1项，其中的每一项都比e 的展开式中的前n+1项小,而e 的最后一项大于零.因此后页返回前页
前页 后页 返回 1 1 2 (1 )(1 ) (1 ). ( 1)! 1 1 1 n n n n n + − − − + + + + 由此得 1 1 的前 n e + 项小 n+ ,而 的最后一项大于零.因此 +1 , n n n 把 e e e 和 的展开式作比较就可发现 的展开 1 1 1 1 1 1 2 1 (1 ) (1 )(1 ) 1! 2! 1 3! 1 1 n e n n n + = + + − + − − + + + 1 1 2 1 (1 )(1 ) (1 ) ! 1 1 1 n n n n n − + + − − − + + + + +1 1 式有 n e 项 n ,其中的每一项都比 的展开式中
en<en+1, n=1,2,....从而 {e,}是单调增数列,且(2)e.≤1+1!2!3!n!1由此 e,≤1+1+3.2221-12这就证明了le又是有界数列.于是lime,存在n→记此极限为e，即e = lim(1 +-)"n→00n后页返回前页
前页 后页 返回 1 , 1,2, . n n e e n = + {e } 从而 n 是单调增数列,且 1 1 1 1 1 . (2) 1! 2! 3! ! n e n + + + + + 2 1 1 1 1 1 1 3, 2 2 2 n n e − 由此 + + + + + { } . lim . n n n e e → 这就证明了 又是有界数列 于是 存在 记此极限为e ,即 1 e lim(1 ) . n n→ n = +