《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第3章 微分中值定理与导数应用

第188页例3.1.5 设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(O)= f(1)=0,f()=1 ,证明(1)至少存在一点 ≤E(,1),3 f()=≤(2)至少存在一点 E(0,),3 f'()=1(3)VeR,3nE(0,),3 f'(n)-[f(n)-nl=1证明（(1)令 F(x) =f(x) -x, 则F(x) EC[ /2 ,1],且F()=>0, F(1)=-1<0由零点存在定理知 E(,1),F()=0→ f()=

第 188 页 例3.1.5 设 f(x ) 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且 ,证明 (1)至少存在一点 证明 (1) 令 F(x) = f(x) – x , 则 F(x) ∈C [ ½ ,1] , 且   1 1 2 2 F F     0, (1) 1 0   1 2     ,1 , ( ) 0 F   f ( )   由零点存在定理知 (2)至少存在一点  (0, ) , ( ) 1    f   1 2 ff f (0) (1) 0 , ( ) 1   (3) , (0, ) , ( ) ( ) 1             R ff    1 2  ( ,1) , ( )   f  

第189页(2)因为F(x)在[0,]上满足Roll条件,所以=f'()=13E(0,),3F()= f'()-1=0(3) 令 G(x)=e-ax[f(x)-xl=e-ix.F(x):G(0)= F(0)=0, G()=e-5 F(5)=0.G(x)在[0,]上满足Roll条件3n E(0,),3G'(n)= 0= -e-an[f(n)-n]+e-an[f(n)-1]= 0= f'(n)-α[f(n)-n]=1

第 189 页 () e () e ()   x x Gx f x x Fx        ∴ G (x ) 在[0, ξ ]上满足Roll条件 GF G F (0) (0) 0, ( ) e ( ) 0             (0, ) , ( ) 0   G e () e () 1 0  f f                   f f () [ () ] 1    (2) 因为 F(x ) 在[0, ξ ]上满足Roll条件,所以       (0, ) , ( ) ( ) 1 0   F f     f () 1  (3) 令

第190页例3.1.6设f(x)，g(x)在[a,b]上存在二阶导数,且g"(x)± 0, f(a)= f(b) = g(a) = g(b)= 0证明(1)在(a,b)内g(x)≠0;f() _f"()(2)存在 E (a,b) 使得g()g()证明(1)用反证法:若存在 n E (a,b) 使得g( n)= 0则在[a, n]和[ n ,b]上对g(x) 分别使用罗尔定理35, E(a,n), 35, E(n,b),3g'(5) = g'(5,)=0再在[51,52上对g(x)使用罗尔定理5, E(51,52),3 g"(5,)=0 与题设矛盾故在(a,b)内 g(x) ≠0

第 190 页 再在 上对 使用罗尔定理 例3.1.6 设 f (x) , g (x ) 在 [ a,b ]上存在二阶导数,且 g x f a f b ga gb ( ) 0, ( ) ( ) ( ) ( ) 0   证明 (1) 在 ( a,b ) 内 g (x) ≠0; () () () () f f g g        证明 (1)用反证法:若存在 η ∈ ( a,b) 使得g ( η )= 0 则在 [ a,η ] 和 [ η,b ]上对g (x) 分别使用罗尔定理 1 2 12       ( , ), ( , ), ( ) ( ) 0 a bg g      1 2    , () g x    3 12 3     ( , ), ( ) 0   g 与题设矛盾 故在 ( a,b ) 内 g (x) ≠ 0 (2)存在 ξ ∈ ( a,b) 使得

第191页证明(2)构造辅助函数F(x) = f(x)g'(x)- f'(x)g(x)F(a) = F(b) = 0F'(x)= f(x)g"(x)- f"(x)g(x)F(x)在[a, b] 上满足罗尔条件故存在 ≤E(a,b)3 F'() = f()g"()- f"()g() = 0f() -f"()Ig()g"()

第 191 页 F() () () ()() x f xg x f xgx     F   () () () ()() x f xg x f xgx   Fa Fb () () 0      F fg f g    () () () ()() 0     () () () () f f g g          (,) a b 证明 (2) 构造辅助函数 F(x ) 在 [ a, b ] 上满足罗尔条件 故存在

第192页$ 3.2洛必达法则（L'HopitalsRule）0和“1.两种标准不定型的极限0o定理3.2.1若 f(x)和g(x)可导且 g(x)± 0 ,并满足f'(x)存在(或℃)(I) lim f(x)=limg(x)=0(或 0); (2) limg(x)X1f(x)f'(x)则 limlimg(x)g'(x)xx2.其它类型不定型的极限(00，80-80,1°,80000等）可先适当变形转化为标准不定型后再求解

第 192 页 §3.2 洛必达法则 (L'Hopitals Rule ) 0 0   “” “ ” 定理3.2.1 若 f (x ) 和 g (x )可导 且 ,并满足 (1) lim ( ) lim ( ) 0 ;     x x f x gx () () lim lim () () x x f x fx gx g x    1. 两种标准不定型 和 的极限 ( ) (2) lim ( ) x f x g x   存在 ( 或 ∞ ) 则 或 g x () 0  2. 其它类型不定型的极限( 0· ∞ , ∞ - ∞ ,1 ∞ ,∞0 ,00 等 ) 可先适当变形转化为标准不定型后再求解