《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第3章 微分中值定理与导数应用

第183页四、柯西(Cauchy)中值定理如果函数f(x)及g(x)满足以下柯西条件：(1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在开区间(a,b)内可导;(3)对于任何xE(a,b),g(x)≠0则至少存在一点 E(a,b),使得f(b)-f(a) f'()g(b)-g(a)g'()特别地取g(x)=x时，柯西中值定理便转化为拉格朗日中值定理，故柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广

第 183 页 四 、柯西 (Cauchy )中值定理 如果函数f (x ) 及g (x )满足以下柯西条件: (1) 在闭区间 [ a,b ]上连续; (2) 在开区间 ( a,b )内可导; (3) 对于任何 x ∈ ( a,b), g x () 0  则至少存在一点 ξ ∈ ( a,b), 使得 () () () () () () fb fa f gb ga g        特别地取 g (x) = x时,柯西中值定理便转化为 拉格朗日中值定理,故柯西中值定理是拉格朗日中 值定理的推广

第184页证明先证g(a) ≠g(b)因若g(a) = g(b), 则存在 使 g()=0与条件矛盾再作辅助函数F(x) =[f(b)- f(a)]g(x)-[g(b) -g(a)]f(x)F(a) = F(b) = f(b)g(a) - f(a)g(b)由罗尔定理至少存在一点 E(a,b),使得F'() =[f(b)- f(a)]g()-[g(b)-g(a)]f()=0f(b)-f(a)_ f()二g(b)-g(a)g()

第 184 页 再作辅助函数 Fx f b f a gx gb ga f x () () () () () () ()       Fa Fb f bga f agb () () () () () ()   由罗尔定理至少存在一点 ξ ∈ ( a,b),使得 F f b f a g gb ga f   () () () () () () () 0           () () () () () () fb fa f gb ga g         证明 先证g ( a) ≠ g ( b ) 因若g ( a) = g ( b), 则存在 ξ 使 g() 0   与条件矛盾

第185页柯西中值定理的几何意义x= f(t)若曲线C由参数方程表示te[a,b](y=g(t)记 A:(f(a), g(a)) 和 B: (f(b), g(b)为曲线上两点g(b)-g(a)则连接A和B点的直线的斜率为f(b)- f(a)由拉格朗日中值定理知:存在(f(),g(EC,使得在该点处的切线平行于AB点的连线，故g(b)-g(a) g'()f(b)-f(a)f'()

第 185 页 若曲线 C 由参数方程表示 ( ) : , [,] ( ) x ft C t ab y gt       则连接A 和 B点的直线的斜率为 () () () () g b g a f b f a   () () () () () () gb ga g fb fa f        记 A : ( f ( a ), g ( a)) 和 B : ( f ( b ), g ( b))为曲线上两点 柯西中值定理的几何意义 由拉格朗日中值定理知:存在( f ( ξ), g ( ξ)) ∈ C, 使得在该点处的切线平行于AB点的连线,故

第186页例3.1.3设fx)在[a,b]上连续，在(a,b)内存在二阶导数f(a)= f(c)= f(b),(a<c<b)则存在 E(a,b)使得 f"()=0证明因,f(x)在[a,c]和[c,b]上均满足Roll 条件,故351E(a,c),3 f'(5)=0352 E(c,b),3 f'(52)=0f'(5)= f'(52)= 0,(a<≤i <c<≤2 <b)又因在[51,5,]上(x)满足Roll条件,故3 ≤(5i,52)c(a,b) 3 f"()=0

第 186 页 f () 0   证明 因 f(x ) 在 [ a,c ] 和 [ c,b ]上均满足Roll 条件,故 1 1     ( , ), ( ) 0 ac f   1 2 12 f   ( ) ( ) 0,( )   f acb       1 2    , () f  x   1 2      ( , ) (,) () 0   ab f  例3.1.3 设 f(x ) 在 [ a,b ]上连续,在 ( a,b )内存在二阶导数 2 2     ( , ), ( ) 0 cb f   则存在 ξ ∈ ( a,b )使得 又因在 上 满足Roll条件,故 f ( ) ( ) ( ),( ) a fc fb a c b   

第187页例3.1.4(P91习题9)若f(x)在(-80,+ 80)内有f'(x)=f(x), 且f(0)=1,证明f(x)= e证明令F(x)=e-x. f(x)F(x)=-e-x. f(x)+e-x. f'(x)=0F(x)=CU: F(0)=e℃ f(0)=1 .:C=1:. F(x)=e-x. f(x)= 1→ f(x)=e*

第 187 页 例3.1.4(P91习题9) 若f (x ) 在(- ∞,+ ∞ )内有 证明 令 () e () x F x f x    () e () e () 0 x x Fx fx f x             F( ) x C 0  F f (0) e (0) 1     C  1 () e () 1 x Fx f x     () e x   f x 且 f (0) = 1,证明 f (x) = ex f ( ) ( ), x fx 