第11页第四解析函数的级数表示Z(1+级数是否收敛？课堂练习nn=j n8e0Za,=2!发散;因为解所以原级nn=1n=1数发散2b =21收敛n=i nn=181Z=(1+)(2)级数是否收敛?nnn=1Za,=Zl因为收敛;nn=1n=1所以原级12b, -2.数收敛收敛.3nn=1n=1结回DO束
结 束 返回 第四章解析函数的级数表示 第11页 11 (1 ) 1 1 级数 是否收敛？ = + n n i n 解 ; 1 1 1 因为 发散 = = = n n n n a . 1 1 2 1 收敛 = = = n n n n b 所以原级 数发散. 课堂练习 1 1 (2) (1 ) n i n n = + 级数 2 是否收敛？ 2 1 1 1 ; n n n a n = = 因为 = 收敛 1 1 1 . n n n b n = = = 3 收敛 所以原级 数收敛
第12页第四童解析函数的级数表示常见实级数敛散性判别法：1）比较法；2）比值法；3）根值法；4）交错级数的莱布尼判别法807级数定理4.3α,收敛的必要条件:limα,=0.城n=1启示：判别级数的敛散性时,可先考察limα，0n>0limα, ± 0,级数发散；n-0如果limαn = 0,应进一步判断n>0结回束
结 束 返回 第四章解析函数的级数表示 第12页 12 常见实级数敛散性判别法： 1）比较法；2）比值法；3）根值法； 4）交错级数的莱布尼兹判别法. 1 4.3 : lim 0. n n n n → = 定理 级数 收敛的必要条件 = 启示: 判别级数的敛散性时, 可先考察 lim = 0 → n n ? → lim 0, n n 如果 级数发散; 应进一步判断. lim = 0, → n n
第13页808定理4.4如果级数Mα,也收敛收敛,则级数α.n=1n=1证明.: lαn =|an +ibn| = Va, + b?. lanl,bn|≤a, +b, ≤[an|+bnl,(*)再由比较法知a,绝对收敛，b1n=1n=18an,Ei于是b,收敛，从而α,也收敛.n=1n=1n=1888级数Z都收敛定理4.5α,|收敛Zla,和b,n=ln=1n=l结回DO束
结 束 返回 第四章解析函数的级数表示 第13页 13 1 1 4 4 , . n n n n = = 定理 . 如果级数 收敛 则级数 也收敛 证明 2 2 2 2 , , , (*) n n n n n n n n n n n a ib a b a b a b a b = + = + + + 再由比较法知 绝对收敛， = =1 1 , n n n an b , . 1 1 1 于 是 收敛，从而 也收敛 = = = n n n n n an b 1 1 1 4.5 . n n n n n n a b = = = 定理 级数 收敛 和 都收敛
第14页第四童解析函数的级数表示808Z若αn收敛，则称α,为绝对收敛定义4.4天n=1n=18088Z若而收敛，发散，则称α,为条件收敛αnα.n=1n=1n=18崽号Z(1)若)α,收敛,lα,l一定收敛吗?n=1n=18088ZZ(2)若α,收敛,β,发散,问可Z(α,+β,)收敛吗?n=ln=ln=l888ZZ(3)若α,和β,都发散,问可(α,+β,)收敛吗？n=ln=ln=l结束回0
结 束 返回 第四章解析函数的级数表示 第14页 14 定义4.4 1 1 n n n n = = 若 收敛，则称 为绝对收敛； 1 1 1 . n n n n n n = = = 若 发散，而 收敛，则称 为条件收敛 1 1 (1) n n n n = = 若 收敛， 收 一定 敛吗？ 1 1 1 ( ) ( ) 2 n n n n n n n = = = 若 收敛， 收 发散，问 + 敛吗？ 1 1 1 ( ) ( ) 3 n n n n n n n = = = 若 和 收 都发散，问 + 敛吗？ 思考
第15页第四童解析函数的级数表示判断复数项级数收敛的方法：(1)判断limα,是否为零。n-808(2)判断a,和b,的敛散性,n=1n=l80判断[α,|收敛←正项级数(3)n=18(4）判断|αn|发散←交错级数n=1(5)定义及其他方法囍回束
结 束 返回 第四章解析函数的级数表示 第15页 15 判断复数项级数收敛的方法： 1 lim n n → ( ) 判断 是否为零。 1 1 2 . n n n n a b = = ( ) 判断 和 的敛散性 1 (3) n n = 判断 收敛 正项级数 1 (4) n n = 判断 发散 交错级数 (5) 定义及其他方法