即A={o/(gA,O∈!Q 显然有:()A∪A=g,AAA=④ (2)A-B=AB(证明:A_B=A-AB=A(g-B)=AB) 注:互逆事件与互斥事件的区别:互逆必定互斥,互斥不一定互逆;互逆只在样本空 间只有两个事件时存在,互斥还可在样本空间有多个事件时存在。 例如,在抛硬币的试验中,设A={出现正面},B={出现反面},则A与B互斥且A与B 互为对立事件;而在掷骰子的试验中,设A={出现1点},B={出现2点},则A与B 互斥,但A与B不是对立事件。 五、事件的运算性质(规律) 由前面可知,事件之间的关系与集合之间的关系建立了一定的对应法则,因而事 件之间的运算法则与布尔代数中集合的运算法则相同 1.交换律:A∪B=B∪A,AB=BA 2.结合律:A∪(B∪C)=(∪B)∪C,A(BC)=(AB)C 3.分配律:A∩(B∪C)=(AB)∪(AC),A∪BC)=(A∪B)(A∪C) 4德莫根(对偶)定律:①UA=∩A(和的逆=逆的积) ②∩4=UA(积的逆=逆的和) 六、举例 例1:设A、B、C为任意三个事件,试用A、B、C的运算关系表示下列各事件: ①三个事件中至少一个发生 A∪BuC ②没有一个事件发生 ABC=A∪B∪C(由对偶律) ③恰有一个事件发生 ABC∪ ABCU ABO ④至多有两个事件发生(考虑其对立事件) (ABC∪ABC∪ABC)∪(ABC∪ABC∪ABC)∪(ABC)=ABC=A∪B∪C ⑤至少有两个事件发生 ABC∪ABC∪ABC∪ABC=AB∪BC∪CA 概率论与数理统计教案 第一章随机事件与概率
6 概率论与数理统计教案 第一章 随机事件与概率 即 A = / A，} 显然有：⑴ AA＝，AA＝ ⑵ A－B＝AB （证明： A－B＝A－AB＝A（－B）＝AB ） 注：互逆事件与互斥事件的区别：互逆必定互斥，互斥不一定互逆；互逆只在样本空 间只有两个事件时存在，互斥还可在样本空间有多个事件时存在。 例如，在抛硬币的试验中，设 A={出现正面}，B={出现反面}，则 A 与 B 互斥且 A 与 B 互为对立事件；而在掷骰子的试验中，设 A={出现 1 点}，B={出现 2 点}，则 A 与 B 互斥，但 A 与 B 不是对立事件。 五、事件的运算性质（规律） 由前面可知，事件之间的关系与集合之间的关系建立了一定的对应法则，因而事 件之间的运算法则与布尔代数中集合的运算法则相同。 1.交换律： A B = B A，AB＝BA 2.结合律： A (B C) = (A B) C, A(BC) = (AB)C 3.分配律： A (B C) = (AB) (AC), A BC) = (A B)(AC) 4.德莫根（对偶）定律：① n i i n i Ai A =1 =1 = （和的逆＝逆的积） ② n i i n i Ai A =1 =1 = （积的逆＝逆的和） 六、举例 例 1：设 A、B、C 为任意三个事件，试用 A、B、C 的运算关系表示下列各事件： ①三个事件中至少一个发生 ABC ②没有一个事件发生 ABC = A BC （由对偶律） ③恰有一个事件发生 ABC ABC ABC ④至多有两个事件发生（考虑其对立事件） ( ) ( ) ( ) ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC A B C = = ⑤至少有两个事件发生 ABC ABC ABC ABC AB BC CA =
课后作业:1、仔细阅读P1-7 2、作业:P251,2,3; 3、预习P7-15 概率论与数理统计教案 第一章随机事件与概率7
概率论与数理统计教案 第一章 随机事件与概率 7 课后作业：1、仔细阅读 P1-7； 2、作业：P25 1, 2, 3； 3、预习 P7-15
§1.2随机事件的概率 0、引言 随机事件在一次试验中,可能发生也可能不发生,具有偶然性。但是,人们从实 践中认识到,在相同的条件下,进行大量的重复试验中,试验的结果具有某中内在的 规律性,即随机事件发生的可能性大小是可以比较的,是可以用一个数字进行度量的。 例如,在投掷一枚均匀的骰子试验中,事件A‘掷出偶数点’,B‘掷出2点’,显然 事件A比事件B发生可能性要大。 对于一个随机试验,我们不仅要知道它可能出现哪些结果,更重要的是研究各种 结果发生的可能性的大小,从而揭示其内在的规律性 概率就是随机事件发生的可能性大小的数量表征。对于事件A,通常用P(A)来 表示事件A发生的可能性大小,即A发生的概率 但是,事件的概率如何进行定义呢?在概率论发展的历史上,人们针对不同情况, 从不同的角度对事件的概率作了规定,给出了四种定义。 概率的统计定义 1.频率及频率的性质: (1)定义:在相同的条件下,重复进行了N次试验,若事件A发生了次,则称比 值4为事件A在N次试验中出现的频率,记为F(A)=共。 (2)频率的性质: (1)非负性:对任意A,有F(A)≥0 (2)规范性:F(92)=1 (3)可加性:若A、B互斥,则F(A∪B)=F(A)+F(B) (3)频率的稳定性: 在大量的重复试验中,频率常常稳定于某个常数,称为频率的稳定性。 通过大量的实践,我们还容易看到,若随机事件A出现的可能性越大,一般来 讲,其频率F(A)也越大。由于事件A发生的可能性大小与其频率大小有如此密切 概率论与数理统计教案 第一章随机事件与概率
8 概率论与数理统计教案 第一章 随机事件与概率 §1.2 随机事件的概率 0、引言 随机事件在一次试验中，可能发生也可能不发生，具有偶然性。但是，人们从实 践中认识到，在相同的条件下，进行大量的重复试验中，试验的结果具有某中内在的 规律性，即随机事件发生的可能性大小是可以比较的，是可以用一个数字进行度量的。 例如，在投掷一枚均匀的骰子试验中，事件 A‘掷出偶数点’，B‘掷出 2 点’，显然 事件 A 比事件 B 发生可能性要大。 对于一个随机试验，我们不仅要知道它可能出现哪些结果，更重要的是研究各种 结果发生的可能性的大小，从而揭示其内在的规律性。 概率就是随机事件发生的可能性大小的数量表征。对于事件 A ，通常用 P(A) 来 表示事件 A 发生的可能性大小，即 A 发生的概率。 但是，事件的概率如何进行定义呢？在概率论发展的历史上，人们针对不同情况， 从不同的角度对事件的概率作了规定，给出了四种定义。 一、概率的统计定义 1.频率及频率的性质： (1)定义：在相同的条件下，重复进行了 N 次试验，若事件 A 发生了 次，则称比 值 N 为事件 A 在 N 次试验中出现的频率，记为 N FN A ( ) = 。 (2)频率的性质： ⑴非负性：对任意 A，有 FN (A) 0 ⑵规范性： FN () = 1 ⑶可加性：若 A、B 互斥，则 F (A B) F (A) F (B) N = N + N (3)频率的稳定性： 在大量的重复试验中，频率常常稳定于某个常数，称为频率的稳定性。 通过大量的实践，我们还容易看到，若随机事件 A 出现的可能性越大，一般来 讲，其频率 F (A) N 也越大。由于事件 A 发生的可能性大小与其频率大小有如此密切