《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第十二章 无穷级数 12-2 常数项级数的审敛法

2)若p>1,因为当k-1≤x≤k时， xP故 是-hx≤%dx 从而级数的部分和 5-10s1+心=1+d a1*-s1.a=23 这表明部分和数列s}是有界，因此级数∑收敛 n=1 n 综上所述：对于p级数∑当p>1收敛，当p≤1时发散

p 1, 因为当 1 1 , p p k x  故 1 1 1 d k p p k x k k    1 1 d k p k x x    从而级数的部分和 2) 若 时, 2 1 1 n n p k s  k   1 2 1 1 d n k p k k x x     1 1 1 d n p x x    1 1 1 1 p p n            1 1 ( 2,3, ), 1 n p     1 1 { } . n p n s n   这表明部分和数列 是有界,因此级数 收敛 1 1 1 1 p n p p p n   综上所述:对于 级数 当   收敛,当 时发散

调和级数与p级数是两个常用的比较级数 若存在N∈N,对一切n≥N, 1 0 (1) 4n≥。，则∑4n发散： n n=1 ,p>则吃收欲 (2)

调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 若存在 , N N 对一切 n  N

例2.证明级数 n(n+1) 发散 证：因为 √nn+ (n=1,2,.） n+1 而级数 发散 根据比较审敛法可知，所给级数发散

证明级数 发散 . 证: 因为 2 ( 1) 1 ( 1) 1   n n  n 而级数     2 1 k k 发散 根据比较审敛法可知, 所给级数发散 . 例2

定理3.（比较审敛法的极限形式） 设两正项级数 00 ∑4，∑n满足1im4n=l,则有 n=1 n=l n-→oVn (1)当0≤1<0时，两个级数同时收敛或发散； (2)当1=0且 ∑yn收敛时，∑4n也收敛； n=l n=I 0 (3)当1=0且 ∑n发散时，∑4n也发散 n=1 n=1 证：据极限定义，对e>0,存在N∈N+,当n>N时， -1<6(1≠0) Vn

定理3. (比较审敛法的极限形式) lim l, v u n n n   则有 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞ 证: 据极限定义, 设两正项级数 满足 (1) 当 0 < l <∞ 时

(l-E)Vn≤n≤(l+e)vn (n>N) 00 (1)当0<1<o时，取8<1，由定理2可知 un与∑n 同时收敛或同时发散； =] n= (2)当1=0时，利用4n<(1+)Yn(n>N),由定理2知 若∑'n收敛，则∑4n也收敛 n=l n=l (③)当I=m时，存在NeN,当n>N时，4a>1,即 un >Un 0 00 由定理2可知，若之vn发散，则∑4n也发散， n=l 1n=

n n n (l  )v  u  (l  )v 由定理 2 可知   n1 nv 同时收敛或同时发散 ; (n  N ) (3) 当l = ∞时, 即 n n u v 由定理2可知, 若   n1 nv 发散 , (1) 当0 < l <∞时, (2) 当l = 0时, 由定理2 知   n1 n 若 v 收敛