y型区域 D=x,y)( nsxsx,(v),csysdy 特点:穿过区域且平行于 x轴的直线与区域 边界相交不多于两 个交点 目录上页下页返回结9
目录 上页 下页 返回 结束 11 Y型区域 {( , )| ( ) ( ), } 1 2 D x y x y x x y c y d 特点：穿过区域且平行于 轴的直线与区域 边界相交不多于两 个交点. x x y c d
一般区域 D 分解成有限个无公共 Dy 内点的x型区域或 D Y型区域 因此 一般区域上的二重积分计算问题归结到 X型区域或Y型区域上的二重积分计算问题 目录上页下页返回结9
目录 上页 下页 返回 结束 12 D3 D2 D1 一般区域 X型区域 或 分解成有限个无公共 内点的 Y型区域. 一般区域上的二重积分 计算问题归结到 因此 X型区域 或 Y型区域上的二重积分计算问题
定理2.3设f(x,y)在X型区域D上连续,其中y;(x) y2(x)在a,b上连续,则 b y2(x) f(x, do= dx f(x, y)dy D 分析: J=v1x) y=1(x) F(x,y) ∫f(x,y)(x,y)∈D, 0,(x,y)gD. 目录上页下页返回结9
目录 上页 下页 返回 结束 13 设f (x, y)在X型区域 D上连续, ( ) 1 其中 y x ( ) [ , ] , y2 x 在 a b 上连续 则 D f ( x, y)d b a y x y x dx f x y dy ( ) ( ) 2 1 ( , ) 分析 : a b x y ( ) y y1 x ( ) y y2 x c d 0, ( , ) . ( , ),( , ) , ( , ) x y D f x y x y D F x y 定理2.3
证由于y(x),y2(x)在a,b上连续,故总存在 矩形区域a,bxc,d>D,作定义在[a,b1×c,d 上的辅助函数 F(x, y) ∫f(x,y)(x,y)∈D, 0,(x,y)D 可以验证F(x,y)在an,b1×c,d上可积,而且 b d f(x, y)do F(x, y)do=dx F(x, y)dy C la, biC, dI raiu f(x, y)dy=l ax y2(x) f(x,y)小 yI(x 目求上贝下贞返回果
目录 上页 下页 返回 结束 14 ( ), 1 由于 y x ( ) [ , ] , y2 x 在 a b 上连续 故总存在 矩形区域[a,b][c,d] D, 作定义在[a,b][c,d] 上的辅助函数 0, ( , ) . ( , ),( , ) , ( , ) x y D f x y x y D F x y 可以验证F(x, y)在[a,b][c,d]上可积, 而且 D f ( x, y)d [ , ] [ , ] ( , ) a b c d F x y d b a d c dx F(x, y)dy b a y x y x dx F x y dy ( ) ( ) 2 1 ( , ) ( , ) . ( ) ( ) 2 1 b a y x y x dx f x y dy 证
类似可证若f(x,y)在Y型区域D上连续,x1(y x2(y)在c,d上连续,则 f(x, y)do x2(y) dy f(x, y)dx 注意:积分限的问题 务必保证:下限≤上限←一同一定积分 先定后积<一累次积分 目录上页下页返回结9
目录 上页 下页 返回 结束 15 若f (x, y)在Y型区域 D上连续, 则 D f ( x, y)d d c x y x y dy f x y dx ( ) ( ) 2 1 ( , ) 类似可证 ( ) 1 x y ( ) [ , ] , x2 y 在 c d 上连续 注 意 : 积分限的问题 务必保证 : 同一定积分 先定后积 累次积分 下限 上限