现取zx1<7,则z<6在①中取 ∑mf(5,2甲(5, 分别是f(2,)在c,d上的上和与下和 ∑证n(5,J)A≤!,小s∑p(5,J)Ay j=1 A-6≤∑(51)△x≤A+6 i=1 im∑(5)△x=A b f(x,y)do=axf(x,y)小 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 6 现取 ,则 2 , x y 在（1）中取 n j i j j f J y 1 inf ( , ) n j i j j f J y 1 sup ( , ) 分别是f ( i ,)在[c,d]上的上和与下和 I x A n j i i x 1 0 lim ( ) D f ( x, y)d ( , ) . b a d c dx f x y dy A I x A n i i i 1 ( ) 1 inf ( , ) ( , ) n d i j j i c j f J y f y dy n j i j j f J y 1 sup ( , )
定理2.2 设f(x,y)在矩形区域D=|a,b×c,d上可积, 且对vy∈,d4,积分[f(x,y)k都存在,则累次 积分[小f(x,y)也存在,且 C JJ/(x, y)do=r dv[/(x, y)de D C 证明类似于定理1 目录上页下页返回结9
目录 上页 下页 返回 结束 7 设f (x, y)在矩形区域 D [a,b][c,d]上可积, 且对 y [c,d], 积分 ( , ) 都存在, b a f x y dx 则累次 且 D f ( x, y)d 积分 也存在, d c b a dy f (x, y)dx ( , ) . d c b a dy f x y dx 类似于定理1. 定理2.2 证明
推论2.1设f(x,y)在矩形区域D={a,bx|c,d上连续, 则有 d f(x, y)do= dx f(x, y)dy D d b dy f(x, y)d C 累次积分交换顺序的充分条件 f(x,y)在D上可积, 对vx∈la,b,积分[f(x,y)都存在, 对vy∈c,dl,积分[f(x,y)d都存在 目求上贝下贞返回”结界
目录 上页 下页 返回 结束 8 设f (x, y)在矩形区域 D [a,b][c,d]上连续, D f ( x, y)d ( , ) . d c b a dy f x y dx 则有 b a d c dx f (x, y)dy 累次积分交换顺序的充 分条件 : f (x, y)在 D上可积, 对 x [a,b], 积分 ( , ) 都存在, d c f x y dy 对 y [c,d], 积分 ( , ) 都存在. b a f x y dx 推论2.1
例1设f(x,y)=1-x-y 计算』∫(x,d,其中D=0×l D 解因为f(x,y)满足推论2.1 的条件,所以 ∫(x,yd=df(x,y)”x 而f(xy)=(-x-y =(1-x)-y =(1-x)-=-x 所以f(x,y)do 2)dx=0. 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 9 设 f (x, y) 1 x y ( , ) , 其中 D [0,1][0,1]. D 计算 f x y d 因为f (x, y)满足推论2.1 1 0 1 0 f ( x, y)d dx f ( x, y)dy D 0 x x y 1 1 x y 1 的条件, 所以 例1 解 1 0 1 0 f ( x, y)dy (1 x y)dy 1 0 1 0 (1 x)dy ydy x x 2 1 2 1 (1 ) 而 所以 ) 0. 2 1 ( , ) ( 1 0 f x y d x dx D
二、一般区域上的二重积分的计算 X型区域 D={(x,y)y1(x)sy≤y2(x),a≤x≤b 特点:穿过区域且平行于y y轴的直线与区域 y=y2 边界相交不多于两 y=y() 个交点 目求上下贞返回
目录 上页 下页 返回 结束 10 二、 一般区域上的二重积分的计算 X型区域 {( , )| ( ) ( ), } 1 2 D x y y x y y x a x b a b x y ( ) y y1 x ( ) y y2 x 特点：穿过区域且平行于 y轴的直线与区域 边界相交不多于两 个交点