线性代数第二节正定二次型定理1F(X)=XTAX正定口A的特征值全大于零EPf(=XIAX= i+y+L+y=g(ms证XR",X0.有Y=P-X0f()=g(m)=++L+>0f(X)是正定二次型若A正定且有某≤0，不妨设，≤0，取 Y=(1, 0, .., 0)T, 则 X=PY 0,居，鼓品30,(=只0=,≤0n)首高事教育出服社11新时代大学数学东利教材
第二节 正定二次型 新时代大学数学系列教材 线性代数 定理1 f (X) = X TAX 正定 A 的特征值全大于零. 证 ： X Rn , X 0 , 有 Y = P -1X 0 , f (X)是正定二次型. ： 若 A正定且有某 i ≤ 0, 不妨设 1 ≤ 0, 取 Y = (1, 0, ., 0)T , 则 X = PY 0, f (X) = g(Y) = 1 1 + 2 0 + . + n 0 = 1 ≤ 0 与f (X) > 0 矛盾，故 i > 0, (i = 1, ., n)
线性代数第二节正定二次型例3设A是n阶正定矩阵，证明：A+I>1证□A是正定矩阵A的特征值全为正实数：，，2，1存在正交矩阵C，使CAC==diag(2,..,nA+II=ICCI+II=IC□ CI+CIC1=IC( + 1)C1I4948+)首高教育出服社11新时代大学数学东利教材
第二节 正定二次型 新时代大学数学系列教材 线性代数 例3 设A是n 阶正定矩阵，证明: |A + I | > 1. 证 A是正定矩阵 A的特征值全为正实数： 1 ， 2，.， n \存在正交矩阵C, 使 C-1AC = = diag( 1， 2，.， n ) |A + I | = | C C-1 + I | = | C C-1 + C I C-1 | = | C ( + I ) C-1 | = | C | | + I | |C-1 | = | + I | = ( 1+ 1)( 2 + 1) . ( n + 1) > 1