f[x,x1灬…,x,]-f flx k-1 为f(x)关于节点x,x,…,x,x的阶差商 显然 八,x,…,x1,x]=/xx灬2- 0/41//~k x 差商具有如下性质 (1)f(x)的阶差商[0,x1八…,xk1x由函数值 f(x)f(x1)…,f(xk)的线性组合表示,且
[ , , , , ] 0 1 k 1 k i i i i f x x x x L - 为f (x)关于节点xi0 , xi1 ,L, xi k-1 , xi k 的k阶差商 [ , , , , ] 0 1 k 1 k f x x x x L - 差商具有如下性质 的线性组合表示 且 的 阶差商 可由函数值 ( ), ( ), , ( ) , (1) ( ) [ , , , , ] 0 1 0 1 1 k k k f x f x f x f x k f x x x x L L - 显然 k k k k k i i i i i i i i i x x f x x x f x x x x - - = - - - 1 0 1 1 0 1 2 [ , ,L, ] [ , ,L, , ] k k k k k x x f x x x f x x x x - - = - - - 1 0 1 1 0 1 2 [ , ,L, ] [ , ,L, , ]
f[x0,x1八…,x=1xk ∑ (x1-x0)…(x1-x-1)(x1-x1+1)…(x1-xk) (2)差商具有对称性即任意调换节点的次序差商的值不变 如 fL 0厂1 0 ]=f[ 241/0 (3)当(x)在包含节点x0,x1…,x的区间存在时, 在x,x1…,x之间必存在一点ξ,使得 几[x,x,…,x]=( k!
[ , , , , ] 0 1 k 1 k f x x x x L - å= - - - - + - = k i i i i i i i k i x x x x x x x x f x 0 0 1 1 ( ) ( )( ) ( ) ( ) L L (2) 差商具有对称性,即任意调换节点的次序,差商的值不变 [ , , ] 0 1 2 f x x x [ , , ] 0 2 1 = f x x x [ , , ] 2 1 0 如 = f x x x (3) ( ) , , , , 0 1 当f （k ) x 在包含节点x x L xk的区间存在时 在x0 , x1 ,L, xk之间必存在一点x ,使得 [ , , , ] 0 1 k f x x L x ! ( ) ( ) k f k x =
差商的计算方法(表格法)差商表 Chashang. m xf(x)阶差商二阶差商三阶差商四阶差商 xo f(xo) x1|f(x1) 冫f[ Roux. flo Xux 0/1 x2f(2) 243 01 /[x2,x 1/42434 x3(x3) fl x4 f (4) 规定函数值为零阶差商
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 3 3 2 2 1 1 0 0 x f x x f x x f x x f x x f x x f x k k 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 差商的计算方法(表格法): [ , ] 0 1 f x x [ , ] 1 2 f x x [ , ] 2 3 f x x [ , ] 3 4 f x x [ , , ] 0 1 2 f x x x [ , , ] 1 2 3 f x x x [ , , ] 2 3 4 f x x x [ , , , ] 0 1 2 3 f x x x x [ , , , ] 1 2 3 4 f x x x x [ , , , ] 0 1 4 f x x L x 规定函数值为零阶差商 差商表 Chashang.m
二、差分 定义2.设f(x)在等距节点x4=x+M处的函数值为k k=0,1 称 k k k=01,…,n-1 为f(x)在x处的一阶向前差分 了k=fk k-1 k=1,2 为f(x)在x处的一阶向后差分 Afk=4k+1-4k为f(x)在x处的二阶向前差分 V2f=V-V1为f(x)在xk处的二阶向后差分
二、差分 定义2. 称 设 在等距节点 处的函数值为 0,1, , , ( ) , 0 k n f x x x kh f k k = L = + k k k Df = f - f +1 为f (x)在 xk 处的一阶向前差分 k = 0,1,L,n - 1 Ñ k = k - k -1 f f f 为f (x)在 xk 处的一阶向后差分 k = 1,2,L, n k k k D f = Df - Df +1 2 为f (x)在 xk 处的二阶向前差分 1 2 Ñ k = Ñ k - Ñ k - f f f 为f (x)在 xk 处的二阶向后差分