沈阳师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第9章 欧氏空间 9.4 正交变换

S 9. 4 正交变换2

§9.4 正交变换 2

89.4正交变换第九章欧氏空间正交变换的概念及性质定义99V是欧氏空间，&(EL(V))称为正交变换，如果对任意的α,βEV, (,β) = (α,β)性质1(定理1)V是欧氏空间，&ELV)，则以下条件等价：1)是正交变换2)对任意的αEV，「α|=|α|（即保持向量的长度不变）；3)&,&2，,n是V的标准正交基，则1,2,&，是V的标准正交基；4)在任一标准正交基下的矩阵是正交矩阵

性质1 (定理1) V是欧氏空间，A ∈L(V)，则以下条件等 价： 1) A 是正交变换； 2) 对任意的α∈V，│Aα│=│α│（即保持向量的长度不 变）； 3) ε1 ,ε2 , ···,εn 是V的标准正交基，则Aε1 ,Aε2 , ···,Aεn 是V的标准正交基； 4) 在任一标准正交基下的矩阵是正交矩阵. 第九章 欧氏空间 §9.4 正交变换 一 正交变换的概念及性质 定义9 V是欧氏空间，A (∈L(V))称为正交变换，如果对任意的 α,β∈V, (Aα,Aβ) = (α,β)

S9.4正交变换第九章欧氏空间证明：证明思路:(2)仁(1)仁(3)←(4）是正交变换，即αV,（α,α)=(α,α)→α=(1)台(2) (αα,αα) =/(α,α) =| α [.α,α)=(α,α) VV,=→Vα,βeV(β,β)=(β,β)展开((α+β), (α+β)=(α+β, α+β)(α, αα)+2(αα, β)+(β,β)=(α,α)+2(α,β)+(β,β)(α,β)=(α,β),即α是正交变换

证明： 证明思路： (2) (1) (3) (4)    (1) (2)   是正交变换，即  = → =       V, ( , ) ( , ) A A A ( , ) ( , ) A A      = = .  ( , ) ( , ) V, , V, ( , ) ( , )               =   = →     = A A A A A → ( ( ), ( )) ( , ) A A         + + = + + ⎯⎯⎯→ 展开 ( , ) 2( , ) ( , ) ( , ) 2( , ) ( , ) A A A A A A             + + = + + → ( , ) ( , ) A A     = ,即 A 是正交变换. 第九章 欧氏空间 §9.4 正交变换

89.4正交变换第九章欧氏空间1 i=j(1)(3) →设6j,62,,, 是 V的标准正交基，即(sj,6)0itj1 i=j是正交变换>(08,08)=(6,8)(i, j=1,2,,n)o i*j(i,j=1,2,,n)→ j,2,,, 是 V的标准正交基设,2,",；,2,",,都是 V的标准正交基.Vα,βeVα=x,g,+.+X.cnα=Xe,+.+X.enβ=ygi+..+yonβ=yie,+...+yne.得(α,β)=xyi=…=x,=(α,β)，即是正交变换

(1) (3)   设 1 2 n    , , , 是 V 的标准正交基，即 i j 1 i j ( , ) 0 i j    = =    ， (i, j 1,2, ,n) = i j i j 1 i j ( , ) ( , ) 0 i j      = ⎯⎯⎯⎯⎯→ = =    A是正交变换 A A (i, j 1,2, ,n) = → 1 2 n A A A    , , , 是 V 的标准正交基.  设 1 2 n    , , , ； 1 2 n A A A    , , , 都是 V 的标准正交基.    , V , 1 1 n n 1 1 n n 1 1 n n 1 1 n n x x x x y y y y               = + + = + +   → → = + + = + +   A A A A A A 得 1 1 n n ( , ) x y x y ( , )     = = = = A A ，即 A 是正交变换. 第九章 欧氏空间 §9.4 正交变换

→设在标准正交基,8,6下的矩阵是A→(3) (4)(81,E2,.-,n)=(cE1,E2,",0E,)=(81,E2,..,8,)A,即矩阵A是标准正交基6,62,8到标准正交基,2,8的过渡矩阵→A是正交矩阵←A是正交矩阵 →(j,62,,6,)=(6j,62,,6)A，A可逆,2,是V的基，且aria2iakiek i=1,2,..,n8=(81,82,.,8,2..k=1anili=j(),,)=(anx, Zane)=≥ana,(8,8)=anay =loijK=（因为A是正交矩阵，故6,62…,是标准正交基），故,82，…，是标准正交基

(3) (4)   设 A 在标准正交基 1 2 n    , , , 下的矩阵是 A → 1 2 n 1 2 n 1 2 n A A A A ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )A          = = ， 即矩阵 A 是标准正交基 1 2 n    , , , 到标准正交基 1 2 n A A A    , , , 的过渡矩 阵 → A 是正交矩阵.  A 是正交矩阵 → 1 2 n 1 2 n ( , , , ) ( , , , )A A A A       = ，A 可逆 → 1 2 n A A A    , , , 是 V 的基，且 1i n 2i i 1 2 n ki k k=1 ni a a ( , , , ) a i 1, 2, , n a          = = = →         A  i j 1 1 1 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) 0 n n n n n ki k li l ki lj k l ki kj k k k l k i j a a a a a a i j       = = = = =  = = = = =        A A （因为 A 是正交矩阵，故 1 2 n    , , , 是标准正交基），故 1 2 n A A A    , , , 是 标准正交基. □