第二章随机变量及其分布1.随机变量的概念：2.离散型随机变量及分布列的概念和性质、0一1分布、二项分布、几何分布、超几本章何分布、泊松分布、二项分布的泊松逼近近似计算；3.随机变量的分布函数的概念和性质；内容4.连续型随机变量的概念及其概率密度的概念、性质，均匀分布、指数分布、正态提要分布：5.随机变量函数的分布定义及性质两点分布二项分布离散型随机变量泊松分布常用离散型随机变量维几何分布本章离定义及性质超几何分布散知识型结构随均匀分布连续型随机变量体系机指数分布变常用连续型随机变量量正态分布公式法随机变量函数的分布定义法1.随机变量的概念，分布函数与概率密度函数的概念和性质；重点2.常见的随机变量的分布函数与分布列、概率密度的互求、计算：分析3.随机变量函数的分布；难点用随机变量描述事件，从实际问题出发建立分布列，连续型随机变量概率的计算，分析随机变量函数的分布.-31-
- 31 - 第二章 随机变量及其分布 本章 内容 提要 1．随机变量的概念； 2．离散型随机变量及分布列的概念和性质、0—1 分布、二项分布、几何分布、超几 何分布、泊松分布、二项分布的泊松逼近近似计算； 3．随机变量的分布函数的概念和性质； 4．连续型随机变量的概念及其概率密度的概念、性质，均匀分布、指数分布、正态 分布； 5．随机变量函数的分布 本 章 知 识 结 构 体系 重点 分析 1．随机变量的概念，分布函数与概率密度函数的概念和性质； 2．常见的随机变量的分布函数与分布列、概率密度的互求、计算； 3．随机变量函数的分布； 难点 分析 用随机变量描述事件，从实际问题出发建立分布列，连续型随机变量概率的计算， 随机变量函数的分布． 一 维 离 散 型 随 机 变 量 离散型随机变量 定义及性质 常用离散型随机变量 两点分布 二项分布 泊松分布 几何分布 超几何分布 正态分布 指数分布 连续型随机变量 均匀分布 定义及性质 常用连续型随机变量 随机变量函数的分布 公式法 定义法
第六讲2.1随机变量2.2离散型随机变量本节、随机变量的概念内容、离散型随机变量及其分布列的概念性质提要常见离散型随机变量的分布一教学理解随机变量的概念1目的2理解离散型随机变量及其概率分布的概念要求3.掌握0一1分布、二项分布重点随机变量的概念：离散型随机变量及其概率分布的概念：常见离散型随机变量的分布难点用随机变量描述事件，从实际问题出发建立分布律2学时学时与随机变量的概念15分钟主要离散型随机变量及其分布列的概念性质10分钟内容常见离散型随机变量的分布60分钟时间小结5分钟分配教学启发式、探究式和讲授式教学法，使用多媒体课件、雨课堂等智慧教学手段，基于超星方法学习平台的线上和线下融合的混合式教学和手段学生对随机变量的认识和理解，会影响到后继章节的学习，是概率论部分的关键所在。教学经验总结-32 -
- 32 - 第六讲 2.1 随机变量 2.2 离散型随机变量 本节 内容 提要 一、随机变量的概念 二、离散型随机变量及其分布列的概念性质 三、常见离散型随机变量的分布 教学 目的 要求 1． 理解随机变量的概念 2． 理解离散型随机变量及其概率分布的概念 3． 掌握 0—1 分布、二项分布 重点 随机变量的概念；离散型随机变量及其概率分布的概念；常见离散型随机变量的分布 难点 用随机变量描述事件，从实际问题出发建立分布律 学时 与 主要 内容 时间 分配 2 学时 随机变量的概念 15 分钟 离散型随机变量及其分布列的概念性质 10 分钟 常见离散型随机变量的分布 60 分钟 小结 5 分钟 教学 方法 和手 段 启发式、探究式和讲授式教学法，使用多媒体课件、雨课堂等智慧教学手段，基于超星 学习平台的线上和线下融合的混合式教学 教学 经验 总结 学生对随机变量的认识和理解，会影响到后继章节的学习，是概率论部分的关键所在
教学过程附注引入：在第一章研究随机事件概率的方法缺乏一般性，对于一些比较复杂的问题不能深入分析，解决这些问题的关键是引入随机变量及其分布的概念。随机变量的引入使对随机现象的处理更简单直接，更统一而有力，是观念上的一大进步；更重要的是使得对随机现象的研究可以借助函数和微积分等数学工具，概率论的研究大步向前。讲授新课一、随机变量随机现象的可能结果，有时可以用数值表示，有时与数值无关，对于非数值结果的随机试验，为了能够进行定量的数学处理，必须把随机现象数量化。例1掷色子2,=(1,2,,6)X表示出现的点数，那么，X的取值依赖于试验结果，当试验结果确定了，X的取值也就随之确定了.即X=X()=0例2抛硬币2=（正面、反面产品抽样Q，=（合格、不合格）引入变量X，对试验的两个结果，将X的值分别规定为1和0，即：[1当出现の时X=且试验的结果确定了，X的取值也就随之确定了10，当出现の时可以看出：无论随机试验的结果本身与数量有无联系，我们都能把试验的结果与实数对应起来，把试验的结果数量化．根据这种对应关系引进一个变量动态地表达了随（函数），这个变量随试验结果的不同而变化，是试验结果的函数机事件。由于这样的数量依赖试验的结果，而对随机试验来说，在每次试验之前无法断言会出现何种结果，因而也就无法确定它会取什么值，即它的取值具有随机性，我们称这样的变量为随机变量.定义1设随机试验E的样本空间为Q=@，若对于任意のEQ，都有惟一实数X(の）与之对应，则称Xの）为随机变量，简记为X：以后常用大写字母X,Y,X,X,来表示随机变量，其取值用小写字母x,y,xx2来表示.图2.1是样本点の与实数X=X(の）对应的示意图-33 -
- 33 - 教学过程 附 注 引入： 在第一章研究随机事件概率的方法缺乏一般性，对于一些比较复杂的问题 不能深入分析，解决这些问题的关键是引入随机变量及其分布的概念．随机变 量的引入使对随机现象的处理更简单直接，更统一而有力，是观念上的一大进 步；更重要的是使得对随机现象的研究可以借助函数和微积分等数学工具，概 率论的研究大步向前。 讲授新课 一、随机变量 随机现象的可能结果，有时可以用数值表示，有时与数值无关，对于非数 值结果的随机试验，为了能够进行定量的数学处理，必须把随机现象数量化。 例 1 掷色子 = 1 1,2, ,6 X 表示出现的点数，那么， X 的取值依赖于试验结果，当试验结果确定 了， X 的取值也就随之确定了． 即 X X = = ( ) 例 2 抛硬币 =2 正面、反面 产品抽样 =3 合格、不合格 引入变量 X ，对试验的两个结果，将 X 的值分别规定为 1 和 0 ，即 ： 0 1 1, 0, X = 当出现 时 当出现 时 ．一旦试验的结果确定了， X 的取值也就随之确定了． 可以看出：无论随机试验的结果本身与数量有无联系，我们都能把试验的 结果与实数对应起来，把试验的结果数量化．根据这种对应关系引进一个变量 （函数），这个变量随试验结果的不同而变化，是试验结果的函数． 由于这样的数量依赖试验的结果，而对随机试验来说，在每次试验之前无 法断言会出现何种结果，因而也就无法确定它会取什么值，即它的取值具有随 机性，我们称这样的变量为随机变量． 定义 1 设随机试验 E 的样本空间为 ={ } ,若对于任意 ，都有惟 一实数 X ( ) 与之对应，则称 X ( ) 为随机变量，简记为 X ．以后常用大写字 母 1 2 X Y X X , , , , 来表示随机变量，其取值用小写字母 1 2 x y x x , , , , 来表示． 图 2.1 是样本点 与实数 X X = ( ) 对应的示意图． 动态地表达了随 机事件
附注教学过程aoTcs2图2.1随机变量示意图说明：1.本质：样本点的函数2.它与普通实函数的区别在于：普通实函数无需做试验便可依据自变量的值确定函数值：而随机变量的取值具有随机性，它们取某个值或某个范围内的值有一定的概率，3.随机变量的作用是将随机事件量化表示4.随机变量的取值或取值范围表示随机事件对于随机变量X，X=al，X≤b).ia<X≤bl....(a.beR)都表示事件，即用随机变量的各种取值和取值范围来表示随机事件。例如，在例1中，事件“出现的点数大于3”可以表示为X>3，而（X<0则表示不可能事件.离散型lianxu型随机变量的分类：既非离散亦非lianxu对于随机变量，我们不只是看它取哪些值，更重要的还要知道它取这些值的概率各是多少，对于一个离散型随机变量来说，如果知道了它的可能取值以及相应的概率，那么对这个随机变量的情况就有了全面的了解，二、离散型随机变量1.定义1设离散型随机变量X所有可能取值为x（k=1,2,），若X取各个可能值的概率为P(X =x)=Pk, k=1,2,...则称上式为X的分布列（或概率分布、分布律）．分布列也可以表示为..XXiX2Xn...P..P2PnPi为了更形象地刻画离散型随机变量，几何上可用概率分布图来表示，见图2.2-34 -
- 34 - 教学过程 附 注 图 2.1 随机变量示意图 说明：1. 本质：样本点的函数 2. 它与普通实函数的区别在于：普通实函数无需做试验便可依据自 变量的值确定函数值；而随机变量的取值具有随机性，它们取某个值或某个范 围内的值有一定的概率． 3. 随机变量的作用是将随机事件量化表示 4．随机变量的取值或取值范围表示随机事件 对于随机变量 X ，{ } X a = ，{ },{ }, ( , ) X b a X b a b R 都表示事 件，即用随机变量的各种取值和取值范围来表示随机事件．例如，在例 1 中， 事件“出现的点数大于 3”可以表示为 { 3} X ，而 { 0} X 则表示不可能事件． 随机变量的分类： lianxu 离散型 型 既非离散亦非lianxu 对于随机变量，我们不只是看它取哪些值，更重要的还要知道它取这些值 的概率各是多少． 对于一个离散型随机变量来说，如果知道了它的可能取值以及相应的概率， 那么对这个随机变量的情况就有了全面的了解． 二、离散型随机变量 1．定义 1 设离散型随机变量 X 所有可能取值为 ( 1,2, ) k x k = ，若 X 取 各个可能值的概率为 { } , 1,2, . P X x p k = = = k k (2.1) 则称上式为 X 的分布列（或概率分布、分布律）．分布列也可以表示为 X 1 x 2 x . n x . P p1 p2 . pn . 为了更形象地刻画离散型随机变量，几何上可用概率分布图来表示，见图 2.2
附注教学过程P ^Xix图2.2概率分布图2.离散型随机变量X的分布列具有以下两个性质：(1）非负性：P≥0,k=1,2,；（2）规范性：Zp =1.K这两条基本性质是分布列必须具有的性质，也是判别某个数列是否成为分布列的充要条件.此外，设B为实轴上任一区间，若离散型随机变量X在B上的取值仅为X,X2,",Xm，由于(XeB)=(X=x)U(X=x2)U...U(X=xm),所以P(XeB)=Z P(X=x,)XeB例1设袋中装有6个球，编号为(1,1,2,2,2,3)，从袋中任取一球，记取到的球的编号为X，求：（1）X的分布列：（2）编号大于1的概率.11解（1）因为X可取的值为12.3，而且PX=1)P(X =2) =231P(X =3) :所以X的分布列为6X123111P236（2）事件“编号大于1”可用随机变量X表示为（X>1)，有112P(X>1)=P(X =2)+P(X =3) =2+6"3'三、几个重要的离散型随机变量及其分布列1.两点分布定义如果随机变量X只可能取0和1两个值，且它的分布列为P(X =1)=p,P(X =0)=1-p (0<p<1)则称X服从两点分布（或0-1分布）.两点分布的概率分布表为：-35 -
- 35 - 教学过程 附 注 图 2.2 概率分布图 2．离散型随机变量 X 的分布列具有以下两个性质： （1） 非负性： 0, 1,2, k p k = ； （2） 规范性： =1 k pk . 这两条基本性质是分布列必须具有的性质，也是判别某个数列是否成为分 布列的充要条件． 此外，设 B 为实轴上任一区间，若离散型随机变量 X 在 B 上的取值仅为 1 2 , , , m x x x ，由于 1 2 { } { } { } { } X B X x X x X x = = = = m ，所以 { } { } i i x B P X B P X x = = 例 1 设袋中装有 6 个球，编号为 {1,1,2,2,2,3} ，从袋中任取一球，记取 到的球的编号为 X ，求：（1） X 的分布列；（2）编号大于 1 的概率． 解 （1）因为 X 可取的值为 1,2,3 ，而且 1 { 1} 3 P X = = ， 1 { 2} 2 P X = = ， 1 { 3} 6 P X = = ，所以 X 的分布列为 X 1 2 3 P 1 3 2 1 1 6 （2）事件“编号大于 1”可用随机变量 X 表示为 { 1} X ，有 1 1 2 { 1} { 2} { 3} 2 6 3 P X P X P X = = + = = + = . 三、几个重要的离散型随机变量及其分布列 1．两点分布 定义 如果随机变量 X 只可能取 0 和 1 两个值，且它的分布列为 P X p P X p p { 1} , ( 0) 1 (0 1) = = = = − (2.2) 则称 X 服从两点分布（或 0 1− 分布）．两点分布的概率分布表为： 1 x 2 x . n x x P