由于一个无上界(下界)数列中必有子列发散至正(负)无穷大, 按上述思路,可将极限点的定义扩充为 定义9.2.1在数列{xn}中,若存在它的一个子列{xn}使得 imxn=5(-∞≤5≤+0), 则称为数列{xn}的一个极限点。 “5=+∞(或-∞)是{xn}的极限点”也可以等价地表述为:“对 于任意给定的G>0,存在{xn}中的无穷多个项,使得x>G(或x< G)
由于一个无上界（下界）数列中必有子列发散至正（负）无穷大， 按上述思路，可将极限点的定义扩充为 定义 9.2.1' 在数列 { x n }中，若存在它的一个子列 { k n x }使得 k ∞→ lim k n x = ξ （ −∞ ≤ ≤ +∞ ξ ）， 则称 ξ 为数列 { x n }的一个极限点 。 “ ξ = ∞+ （或 − ∞）是 { x n }的极限点”也可以等价地表述为：“对 于任意给定的 G > 0，存在 { x n }中的无穷多个项，使得 x n > G （ 或 x n < - G）
同样地,仍定义E为{xn}的极限点全体。当5=+∞(或-∞)是 xn}的极限点时,定义supE=+(或infE=-∞);当5=+∞(或- 是{xn}的唯一极限点时,定义supE=infE=+(或supE=infE ∞0)。那么定理92.1依然成立,而定理92.2只要改为 定理9.2.2limx,存在(有限数、+∞或-0)的充分必要条件 n→) 是 n→
同样地，仍定义 E 为{ xn }的极限点全体。当ξ =+ ∞ （或− ∞）是 { xn }的极限点时，定义 sup E =+ ∞（或 inf E =− ∞）；当ξ =+ ∞（或− ∞） 是{ xn }的唯一极限点时，定义 sup E = inf E =+ ∞ （或 sup E = inf E =− ∞）。那么定理 9.2.1 依然成立，而定理 9.2.2 只要改为 定理 9.2.2' lim n→∞ xn 存在（有限数、+ ∞ 或− ∞）的充分必要条件 是 n ∞→ lim xn = n ∞→ lim xn
例92.1求数列{x=c32}的上极限与下极限 解因为xm:=x3n:=5,xn3 所以{xn} 的最大极限点是1,最小极限点是-cos”,即 lin cOS n→) n→0
例 9.2.1 求数列 2 π cos 5 n n x ⎧ ⎫ ⎨ = ⎬ ⎩ ⎭的上极限与下极限。 解 因为 n −45 x = n −15 x = 2 π cos 5 ， n −35 x = n −25 x = π cos 5 − ， 5 1 n x = ，所以 { x n } 的最大极限点是 1，最小极限点是 π cos 5 − ，即 n ∞→ lim 1 n x = ， n ∞→lim n x = π cos 5 −
例92.2求数列n=ny)的上极限与下极限。 解此数列为 1.2.4..6,-.8 它没有上界,因而 limx.=+0。 又由xn>0,且{x2n1}的极限为0,即知 limx.=0。 n→
例 9.2.2 求数列{ }n nxn − )1( = 的上极限与下极限。 解 此数列为 1, 2, 31 , 4, 51 , 6, 71 , 8, …， 它没有上界，因而 n ∞→ lim xn =+ ∞ 。 又由 xn > 0，且 }{ n−12 x 的极限为 0，即知 n ∞→ lim xn = 0
例92.2求数列n=ny)的上极限与下极限。 解此数列为 1.2.4..6,-.8 它没有上界,因而 limx.=+0。 又由xn>0,且{x2n1}的极限为0,即知 0。 例923求数列{xn=n}的上极限与下极限。 解由于limx=-∞,因而 lim x m x Im x n→)
例 9.2.3 求数列{ xn = -n}的上极限与下极限。 解 由于lim n→∞ xn =− ∞，因而 n ∞→ lim xn = n ∞→ lim xn = lim n→∞ xn =− ∞ 。 例 9.2.2 求数列{ }n nxn − )1( = 的上极限与下极限。 解 此数列为 1, 2, 31 , 4, 51 , 6, 71 , 8, …， 它没有上界，因而 n ∞→ lim xn =+ ∞ 。 又由 xn > 0，且 }{ n−12 x 的极限为 0，即知 n ∞→ lim xn = 0