第二章 第4为 高阶导数 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页下页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 第4节 高阶导数 第二章
引例：变速直线运动 s=s(t) 速度 ds V= 即v=s dt dv 加速度 a= 即 a=(s)} BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 自录上页下贞返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 s s(t) 速度 即 v s 加速度 , d d t s v t v a d d ) d d ( d d t s t 即 a (s ) 引例：变速直线运动
定义.若函数y=f(x)的导数y'=f'(x)可导，则称 x)的导数为f)的二阶导数，记作y或dy,即 dx2 y”=(y或9 品 类似地，二阶导数的导数称为三阶导数，依次类推 n-1阶导数的导数称为n阶导数，分别记作 或 d y "Y dx3' BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 定义. 若函数 y f (x)的导数 y f (x) 可导, 或 , d d 2 2 x y 即 y ( y ) 或 ) d d ( d d d d 2 2 x y x x y 类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , n 1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , y , , (4) y ( ) , n y 或 , d d 3 3 x y , d d 4 4 x y n n x y d d , f (x)的导数为 f (x)的二阶导数 , 记作 y 依次类推 , 分别记作 则称
例2.4.2设y=e,求yn 解：y'=aeax,y”=a2e,y"=a3e x yn）=a"ear V'=. 1-x 特别有：(e)m=ex 例24.4设y=ln(1+x),求yn (1-x)2 1+,”=(←1 1.2 1+x)3 …, )=(- (1+x)” 规定0！=1 思考：y=ln(1-x),yw=- (n-1)！ (1-x)” BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 录 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 n (1 x) e , , y a 3 ax 例2. 4.2 设 求 解: 特别有: 解: (n 1)! 规定 0 ! = 1 思考: e , ax y . (n) y e , ax y a e , 2 ax y a n n ax y a e ( ) x n x (e ) e ( ) 例2.4.4 设 y ln(1 x ) , 求 . (n) y , 1 1 x y , (1 ) 1 2 x y , (1 ) 1 2 ( 1) 3 2 x y (n) y 1 ( 1) n y ln(1 x ) , (n) y x y 1 1 y n x n (1 ) ( 1)! 2 (1 ) 1 x
例2.4.3设y=sinx,求ym 解：y'=cosx=sin(x+) y”=cos(x+)=sin(x+5+5） =sin(x+2·) y"=cos(x+2·)=sin(x+3.5) 般地，(sinx)m）=sin(x+n:) 一 类似可证： (cosx)()cos(x+n.) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下负返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 例2.4.3 设 y sin x , 求 . (n) y 解: y cos x sin( ) 2 π x cos( ) 2 π y x sin( ) 2 π 2 π x sin( 2 ) 2 π x cos( 2 ) 2 π y x sin( 3 ) 2 π x 一般地 , x x n (sin ) sin( ( ) 类似可证: x x n (cos ) cos( ( ) ) 2 π n ) 2 π n