第一章 第9为 用闭区间上连续蓝数的性质 定理1最大值最小值定理 定理2有界性定理 定理3介值定理 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS ①-8 目录上页下页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 第9节 定理1 最大值最小值定理 定理2 有界性定理 闭区间上连续函数的性质 第一章 定理3 介值定理
定理1（最大值最小值定理） 在闭区间上连续的函 数在该区间上一定有最大值和最小值 即：设f(x)eC[a,b],则51,52∈[a,b],使 f5)=m,冈 y=f(x) f(52)=max f(x) a≤x≤b ass b x 注意：若函数在开区间上连续，或在闭区间内有间断 点，结论不一定成立 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 注意: 若函数在开区间上连续, 结论不一定成立 . 定理1（最大值最小值定理） 在闭区间上连续的函 数在该区间上一定有最大值和最小值. 即: 设 f (x)C[a, b], 1 2 则 , [ , ], 1 2 a b 使 ( ) min ( ) 1 f f x a xb ( ) max ( ) 2 f f x a xb 或在闭区间内有间断 点 , x y a b y f (x) O
例如，y=x,x∈(0,1) 无最大值和最小值 又如， -x+1, 0≤x<1 1,x=1 也无最大值和最小值 2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例如, 无最大值和最小值 2 2 也无最大值和最小值 又如, x y 1 1 O x y O 1 1
定理2（有界性定理） 闭区间上的连续函数在该 区间上一定有界 证：设f(x)∈C[a,b],由定理1可知有 M-m)m xEla,b] xEla,b] 故x∈a,b],有m≤f(x)≤M, 因此f(x)在[a,b]上有界 0a5152bx BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 1 2 m M 由定理 1 可知有 max ( ) , [ , ] M f x x a b min ( ) [ , ] m f x x a b 证: 设 上有界 . 定理2（有界性定理） 闭区间上的连续函数在该 区间上一定有界. b x y a y f (x) O
定理3（介值定理）设f(x)∈C[a,b],且f(a)=A f(b)=B,A≠B,则对A与B之间的任一数C,至少有 一点5∈(a,b),使f(5)=C. y=f(x) 证：作辅助函数 (x)=f(x)-C 则p(x)∈C[a,b],且 p(a)p(b)=(A-C)(B-C)<0 使 故由零点定理知，至少有一点∈(a,b), p(5)=0, 即 f(5)=C. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 定理3( 介值定理 ) 设 f (x)C[a, b], 且 f (a) A, f (b) B, A B , 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 一点 证: 作辅助函数 (x) f (x) C 则 (x)C[a, b] , 且 (a)(b) (AC)(B C) 故由零点定理知, 至少有一点 使 即 C 使 至少有 x A b y a y f (x) B O