第四章 第3为 第二类换元积分法 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS e-0C8 目录上页下页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 第3节 第二类换元积分法 第四章
第一类换元法解决的问题 ∫fLo(xlo'(x=∫f(udu 难求 u=p(x) 易求 若所求积分∫f(w)du难求， fIo(x)]p'(xdx易求 测得第二类换元积分法 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 第一类换元法解决的问题 难求 易求 f [(x)](x)dx f (u)du u (x) 若所求积分 f [(x)](x)dx 易求, 则得第二类换元积分法. f (u)du 难求
定理设x=w(t)是单调可导函数，且w(t)≠0， [yw(t)]w(t)具有原函数，则有换元公式 ∫fxdr=∫f[v(]w(d-ws 其中t=y(x)是x=必（的反函数 证：设fLyt)]wW(t)的原函数为①(t),令 F(x)=w()] 则 F'(x)= [f(x)dx=F(x)+C=(x)]+C =∫f[ww'(dg=ws BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 F(x) C (t) f [(t)](t) 定理 设 是单调可导函数 , 且 具有原函数 , ( ) ( ) . 其中t 1 x 是 x t 的反函数 证: 设 f[(t)](t)的原函数为(t), 令 ( ) [ ( )] 1 F x x 则 F(x) d t d x t d d f [(t)](t) ( ) 1 t f (x) f (x)dx x C [ ( )] 1 [t]C ( ) 1 t x ( ) [ ( )] ( )d 1 t x f t t t 则有换元公式
例4.3.2求 [va2-x2dx (a>0) 解：令x=asint,te(-,),则 va2 -x2 va2-a2sin2t=acost dx acostdt .原式=∫acos1acos1di=a2∫cos21d1 =时42=5n2)+c sin 2t sin2t=2sintcost=2. a a2 resin+xva2-x2+C 2 a BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回 结
目录 上页 下页 返回 结束 例4.3.2 求 d ( 0). 2 2 a x x a 解: 令 sin , ( , ), 2 π 2 π x a t t 则 a x a a t 2 2 2 2 2 sin acost dx acost d t ∴ 原式 acost acost d t a cos t d t 2 2 a C 2 4 sin 2 2 t t a x 2 2 a x t a x arcsin x a x C 2 2 2 1 2 2 a sin 2t 2sint cost 2 a x 2 2 a x a 2 1 cos2 d 2 t a t
dx 例4.3.3求 (a>0): 解：令x=atant,t∈(-，)，则 x2+a2 va2 tan2t+a2 asect dx asec2 tdt 厚式-js8cd1=d1 x2+a In sect+tant+C X In chatc a a =x+vx"ta+G. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例4.3.3 求 解: 令 tan , ( , ), 2 π 2 π x a t t 则 2 2 2 2 2 x a a tan t a asect dx asec t d t 2 ∴ 原式 a t 2 sec asect d t sect d t ln sect tan t C a x 2 2 x a t C x x a a C a x a x a ln ln ln 2 2 2 2