第一章 第5节 极限的运算法则 一、 无穷小的运算定理 二、 极限的四则运算法则 三、复合函数求极限的法则 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 第一章 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数求极限的法则 一 、无穷小的运算定理 第5节 极限的运算法则
一、无穷小的运算定理 定理1(1)有限个无穷小的和是无穷小 lim y(x)=0, x->x0 证：考虑三个无穷小的和.设1ima(x)=0,imP(x)=0 x-→X0 x->x0 V6>0,3δ>0，当0<x-x0<δ时，有a<号 3δ2>0，当0<x-x0<δ2时，有B<号 3δ>0，当0<x-x<d时，有|6号 令6=mim{8,ò2，δ2则当0<x-x0<6时，有 a+B+Y≤a++y<号+号+号=8 因此im(a+阝+y)=0. 这说明当x→x时，+B+y为无穷小量 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页下页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 min 1 , 2 , 3 , 时, 有 一、 无穷小的运算定理 定理1 (1)有限个无穷小的和是无穷小 . 证: 考虑三个无穷小的和 . 设 0, 当 时 , 有 当 时 , 有 令 则当 0 x x0 3 3 3 因此 这说明当 时, 为无穷小量 . 当 时 , 有
类似可证：有限个无穷小之和仍为无穷小 说明：无限个无穷小之和不一定是无穷小！ 例如， BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 例如， π 1 2 π 1 π 1 lim 2 2 2 n n n n n n 1 类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小
定理1(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证：设Vx∈U(xo,6),a(x)≤M 又设1m(x)=0,即Vε>0,3δ2>0，当x∈U(x0,δ2) x→X0 时，有(x)≤ 取δ=min{δ1，δ2}，则当x∈U(x,δ)时，就有 u(x)a(x)<M·是=e 故1imu(x)c(x)=0,即u(x)(x)是x→xo时的无穷小， 推论(1)常数与无穷小量的乘积是无穷小 (2)有限个无穷小量的乘积是无穷小 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 定理1 (2) 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证: 设 u(x) M 又设 lim ( ) 0, 0 x x x 即 0, 当 时, 有 M x ( ) 取 min , , 1 2 则当 ( , ) x U x0 时 , 就有 u(x)(x) M M 故 即 是 时的无穷小 . 推论 (1) 常数与无穷小量的乘积是无穷小 . (2) 有限个无穷小量的乘积是无穷小
二、极限的四则运算法则 定理2(1)若1imf(x)=A,l1img(x)=B,则有 lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B 证：因limf(x)=A,limg(x)=B,则有 f(x)=A+C(x),8(x)=B+(x) (其中a(x),B(x)为无穷小) 于是 f(x)±8(x)=(A+(x)士(B+B(x)) =(A士B)+(C(x)±B(x)) 由定理1可知(x)±(x)也是无穷小，再利用极限与无穷小 的关系定理，知定理结论成立 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 二、 极限的四则运算法则 lim f (x) A, limg(x) B , 则有 证: 因 lim f (x) A, limg(x) B , 则有 f (x) A(x) , g(x) B (x) (其中 (x) , (x) 为无穷小) 于是 f (x) g(x) (A(x)) (B (x)) (A B) ((x) (x)) 由定理 1 可知 (x) (x) 也是无穷小, 再利用极限与无穷小 的关系定理 , 知定理结论成立 . 定理2 (1)若