第4节 第三章 岛数的极值与 最大值、最小值问题 函数的极值及其求法 二、函数的最大值与最小值问题 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 二、函数的最大值与最小值问题 一、函数的极值及其求法 第4节 函数的极值与 最大值、最小值问题 第三章
函数的极值及其求法 定义：设函数f(x)在点x,的某邻域U(x内有定义 如果对于Vx∈U(x),恒有： (1)f(x)<f(xo),则称x为f(x)的极大值点 称f(x,)为函数的极大值； (2)f(x)>f(xo),则称xo为f(x)的极小值点 称f(x,)为函数的极小值 函数的极大值与极小值统称为极值.使函数取得 极值的点统称为极值点 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 定义: (1) 则称 为 的极大值点 , 称 为函数的极大值 ; (2) 则称 为 的极小值点 , 称 为函数的极小值 . 函数的极大值与极小值统称为极值．使函数取得 极值的点统称为极值点. 一、函数的极值及其求法
例如，函数f(x)=2x3-9x2+12x-3 x=1为极大值点，f①)=2是极大值 2 x=2为极小值点，f(2)=1是极小值 注意：1)函数的极值是函数的局部性质 2)对常见函数，极值可能出现在导数为0或 不存在的点 x1,x4为极大值点 x2,x5为极小值点 x3不是极值点 O ax1 x2 X3 x4 xs b x BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 注意: 3 x 1 x 4 x 2 x 5 O a x b x y 1 4 x , x 为极大值点 2 5 x , x 为极小值点 3 x 不是极值点 2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点. 1) 函数的极值是函数的局部性质. ( ) 2 9 12 3 3 2 例如 , f x x x x 为极大值点, 是极大值 为极小值点, 是极小值 函数 1 2 O x y 1 2
定理1（极值的必要条件 设函数x)在点x,处可导，且x)为极值，则有 f(x)=0. 证：设x)为极大值，则存在x的某邻域Ux),对 于xeU(x,,有 fx)fx). 由费马引理得，(x)=0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 定理 1 (极值的必要条件) 设函数f(x)在点x0处可导，且f(x0 )为极值，则有 f′(x0 )＝0. 证： 设f(x0 )为极大值，则存在x0的某邻域U(x0 )，对 于 有 f(x) < f(x0 ), 由费马引理得， f′(x0 )＝0. ( ), 0 x U x 。
定理2（判别极值的第一充分条件 设函数f(x)在点x,的某去心邻域U(x,内可导， x为函数的驻点或不可导点.如果在U(x)内有， (1)f'(x)“左正右负”，则f(x)在x取极大值 (2)∫'(x)“左负右正”，则f(x)在x取极小值， (3)在x,的两侧，(x)恒为正或恒为负，则x) 不是极值 点击图中任意处动画播放暂停 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 定理 2 (判别极值的第一充分条件) 设函数 f (x)在点x0 的某去心邻域U(x0 )内可导, 。 x0为函数的驻点或不可导点． 如果在U(x0 )内有, 。 (1) f (x) “左正右负” , ( ) ; (2) f (x) “左负右正” , 则f x 在x0 取极小值 ( ) . 则f x 在x0 取极大值 点击图中任意处动画播放\暂停 (3)在x0的两侧，f′(x)恒为正或恒为负，则f(x0 ) 不是极值．