第1节 第三章 微分中值定理 费马引理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 四、泰勒中值定理 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 第1节 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 微分中值定理 第三章 四、泰勒中值定理 一、费马引理
一、费马引理 g} ->fx)=0 马，P.de (或2) 证：设Vx0+△x∈U(xo),f(xo+△y)≤f(xo), 则f'(xo)=1im f(xo+△x)-f(xo) X △x-→0 △x f'(xo)≥0（△x→0） →f'(x0)=0 f(xo)s0(△x→0*) 证毕 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 费马 目录 上项 下页返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 一、费马引理 且 存在 (或) 证: 设 则 0 0 费马 证毕 x y O 0 x
二、拉格朗日中值定理 定理1（罗尔定理 y=f(x) y=f(x)满足： (1)在区间[a,b]上连续 (2)在区间(a,b)内可导 a (3)f(a)=f(b) =>在（α，b)内至少存在一点5，使f'()=0 证：因f(x)在[a,b]上连续，故在[a,b]上取得最大值 M和最小值m. 若M=m,则f(x)≡M,x∈[a,b], 因此V5∈(a,b),f'()=0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上项 下页返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 定理1（罗尔定理） 满足: (1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b ) 使 f ( ) 0. 证: 故在[ a , b ]上取得最大值 M 和最小值 m . 若 M = m , 则 因此 在( a , b ) 内至少存在一点 x y a b y f (x) O 二、拉格朗日中值定理
若M>m,则M和m中至少有一个与端点值不等 不妨设M≠f(a),则至少存在一点5∈(a,b),使 (5)=M,则由费马引理得∫'(5)=0. y=f(x) 注意： 1)定理条件不全具备时，结论不一定 ag 成立.例如 fo)= X, 0≤x<1 f(x)=x f(x)=x 0, x=1 x∈[-1,1] x∈[0,1] X 在[0,1]不连续 在0,1)不可导 f(0)≠f(1) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 不妨设 则至少存在一点 使 f ( ) 0. 注意: 1) 定理条件不全具备时, 结论不一定 成立. 则由费马引理得 1 x y O 1 x y 1 O 1 x y O x y a b y f (x) O 例如
2)定理条件只是充分的.本定理可推广为 y=f(x)在(a,b)内可导，且 lim f(x)=lim f(x) x→a x->b > 在(a,b)内至少存在一点5，使f'()=0. f(a), x=a 证明提示：设四=的。X=b a<x<b 证Fx)在[a,b]上满足罗尔定理 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 下页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 使 2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为 在 ( a , b ) 内可导, 且 lim f (x) x a lim f (x) x b 在( a , b ) 内至少存在一点 证明提示: 设 证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理