第3为 第三章 菡数的单调性和 曲线的凹凸性 函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸性与拐点 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 第3节 一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸性与拐点 函数的单调性和 曲线的凹凸性 第三章
函数单调性的判定法 定理1.设函数f(x)在开区间I内可导，若f'(x)>0 (f'(x)<O),则f(x)在I内单调增加（减少）. 证：无妨设'(x)>0,x∈I,任取，x2∈I(<x2） 由拉格朗日中值定理得 f(x2)-f()=f'(5)x2-x)>0 5∈(1，x2)cI 故f(x)<f(x2)这说明f(x)在I内单调递增 证毕 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回
目录 上页 下页 返回 结束 一、 函数单调性的判定法 定理 1. 设函数 若 ( f (x) 0), 则 在 I 内单调增加(减少) . 证: 无妨设 任取 由拉格朗日中值定理得 0 故 这说明 在 I 内单调递增. 在开区间 I 内可导, 证毕
例.确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间 解：f'(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2) 令f'(x)=0,得x=1,x=2 (-0,1) 1 (1,2)2(2,+) f'(x) f(x) 2 1 故f(x)的单调增区间为(-0,1)，(2，+∞)月 f(x)的单调减区间为(1,2) 12X BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上 下页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 例. 确定函数 的单调区间. 解: ( ) 6 18 12 2 f x x x 6(x 1)(x 2) 令 f (x) 0 , 得 x 1, x 2 x f (x) f (x) (,1) 2 0 0 1 (1, 2) (2, ) 2 1 故 的单调增区间为 (,1), (2, ); 的单调减区间为 (1, 2). 1 2 O x y 1 2
说明： 1)单调区间的分界点除驻点外，也可是导数不存在的点 例如，y=x2,xE(-0,+o) 2 yy=Vx2 3x x=0=00 2)如果函数在某驻点两边导数同号， 则不改变函数的单调性 例如，y=x3,x∈(-0，+∞) X y'=3x2 x=0 =0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 y O x 说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如, 3 2 y x 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如, y O x 3 y x
例3.3.5证明0<x≤ 时，成立不等式sinx≥ 2 元 证：令f(x)= sin x 2 X 兀 则f()在(0，上连线，在(0，上可导，且 f'(x)= x·cosx-Snx COSX 证 x2 x-tanx)<0 x2 因此/)在(0，内单调递减。 tan x 又fx)在处左连续，因此f)≥f()=0 sin x 从而 x 元 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 证明 目录 上页 下页返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 例3.3.5 证明 时, 成立不等式 证: 令 , π sin 2 ( ) x x f x 2 cos sin ( ) x x x x f x ( tan ) cos 2 x x x x 1 tan x x 0 从而 因此 且 证 证明