北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第4章 不定积分 第4节 分部积分法

第4节 第四章 分部积分法 由导数公式 (uv)'u'v +uv 积分得： w=∫udr+∫w'dr c 分部积分公式 或「 选取u及v'(或dv)的原则： 1)v容易求得 2)rdr比∫uvd容易计算 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 页 下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 第4节 由导数公式 (uv)  u  v  uv  积分得: uv  u  vdx  uv dx   分部积分公式 uv dx uv u v dx       或 ud v uv v du     1) v 容易求得 ; 容易计算 . 分部积分法 第四章

例4.4.1求xcos x dx. 解：令u=x,v=CoSx, 则'=1，v=sinx ∴.原式=xsinx -sinxdx =xsinx+cosx+C 思考：如何求x2 sinxdx? 提示：令u=x2,v'=sinx,则 原式=-x2cosx+2∫co BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例4.4.1 求 解: 令 u  x, v   cos x, 则 u  1, v  sin x ∴ 原式  xsin x   sin x dx  xsin x  cos x C 思考: 如何求 提示: 令 , 2 u  x v   sin x, 则 原式

例4.4.4求∫Inxdx 解：令u=lnx,v=x 则 w=y= 1x2 原式=2n-xd x+C BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例4.4.4 求 x ln x dx.  解: 令 u  ln x, v   x 则 , 1 x u   2 2 1 v  x 原式 = x ln x 2 1 2   x dx 2 1  x x  x C 2 2 4 1 ln 2 1

例4.4.5求arcsinx dx. 解：令u=arcsin x,dy=dx 原式=xaresinx-了产d =a+打别 xarcsin x+v1-x2 C. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例4.4.5 求 解: 令 u  arcsin x, dv  d x 原式 = xarcsin x    x x x d 2 1  xarcsin x     (1 ) d(1 ) 2 1 2 2 x x arcsin 1 . 2  x x   x C

例44.6求∫x2 arctanx dx. 解：令u=arctan,dy=x2dx=dx 原式= dx 3 arcm3a-字山 一 3 arca x arctanx-x+1+)+C. 3 6 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例4.4.6 求 arctan d . 2 x x x  解: 令 u  arctan x, 2 3 d 3 1 d v  x d x  x ∴ 原式 x arctan x 3 1 3     x x x d 3 1 1 2 3 x arctan x 3 1 3      2 2 ) d 1 1 (1 6 1 x x x arctan x 3 1 3  ln(1 ) . 6 1 6 1 arctan 3 1 3 2 2  x x  x   x C      2 2 2 1 d(1 ) 6 1 6 1 x x x