第3节 第二章 复合离数的求导法则 复合函数的求导法则 二、反函数的导数 三、基本求导公式和求导法则 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 第3节 二、反函数的导数 一、复合函数的求导法则 三、基本求导公式和求导法则 复合函数的求导法则 第二章
一、复合函数的求导法则 定理1u=p(x)在点x可导，y=f(u)在点u=p(x) 可导>复合函数y=f[p(x]在点x可导，且 dy=f'(u)9(x)= dy du d du dx 证：y=f(w)在点u可导，故1im A)f"(u) △u→0△u ∴.△y=f'(u)△u+a(△u)△u(当△u→0时a→0) 故有 品-fw*aw (△x≠0) △x dy lim =f'(u)0'(x〉 dx BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 在点 x 可导, lim x 0 x u u x u f u ( ) ( ) x y x y x 0 lim d d 一、复合函数的求导法则 定理1 u (x) y f (u) 在点 u (x) 可导 复合函数 y f [(x)] 且 x u u y f u x x y d d d d ( ) '( ) d d 在点 x 可导, 证: y f (u) 在点 u 可导, 故 lim ( ) 0 f u u y u y f (u)u (u)u（当 u 0 时 0 ) 故有 f (u)'(x) u y f (u) ( ) ( ) ( 0) x x u u x u f u x y
推广：此法则可推广到任意由有限个可导函数复 合而成的函数 例如，y=f(uw),u=p(v),v=(x) dy dy du dv dx du dv dx =f'(u)·p'(v)w(x) X 关键：搞清复合函数结构，由外向内逐层求导 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 例如, y f (u) , u (v) , v (x) x y d d f (u) (v)(x) y u v x u y d d v u d d x v d d 关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导. 推广：此法则可推广到任意由有限个可导函数复 合而成的函数
例2.3.1设y=3sin5x,求y 解：y=3sinu,u=5x, dydy du 3cosu.5=15cosu =15cos5x. dx du dx BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 下返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 例2.3.1 设 y 3sin 5x , 求 y' . 解: y 3sin u,u 5x; 3cos 5 15cos 15cos5 . d d d d d d ' u u x x u u y x y y
例2.3.5设y=1-3x3,求y. 解：y=1-3y-0-3x=0-3x)0-3xy 0-3x)(9x）=- 3x2 /1-3x3)2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上负 下负返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 例2.3.5 设 1 3 , 3 3 y x 求 y' . 解: (1 3 ) (1 3 )' 3 1 ' ( 1 3 )' [(1 3 ) ]' 3 3 2 3 3 1 3 3 3 y x x x x . (1 3 ) 3 (1 3 ) ( 9 ) 3 1 3 3 2 2 3 2 2 3 x x x x