沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第7章 参数估计 7.2 估计量的评选标准

例2 证明(1)样本均值X是总体均值μ的一个无偏估计国证明设X,X,…,X,是来自总体的一个样本，显然它们具有相同的分布律，从而有相同的期望．故EX, = EX, =...= EX, = μI(Xi +X, +.+X,)EX=En(EX, + EX, +..+ EX.-nu=nn所以样本均值X是总体均值u的一个无偏估计沈阳师范大学Shenang Nomal Uni

例2 证明 (1) 样本均值X是总体均值的一个无偏估计； 证 明 设 1 2 , , , X X X n 是来自总体的一个样本，显然它们具有 相同的分布律，从而有相同的期望．故 EX EX EX 1 2 = = = = n  1 2 1 ( ) E X E X X X n n   = + + +     所以样本均值X 是总体均值 的一个无偏估计 ( ) 1 2 1 1 EX EX EX n n n n = + + + = =  

例2证明(2）样本方差S?是总体方差。2的一个无偏估计证明设X,X,…,X,是来自总体的一个样本，显然它们具有相同的分布律，从而有相同的期望和方差．故2(x-)ZES?= EnXEn-n-i=1ZZ(uEX? -nExn-1-i=所以样本方差S是α2的无偏估计。沈阳师范大学ShenYangNoemal Unive

2 2 (2)样本方差S 是总体方差 的一个无偏估计; 例2 证明： 2 2 2 2 1 1 1 1 ( ) 1 1 n n i i i i ES E X X E X nX n n = =     = − = −         − −                n 2 2 2 2 2 i=1 1 σ = (μ + σ )-n μ + = σ n -1 n 所以样本方差 2 S 是 2  的无偏估计． 证 明 设 1 2 , , , X X X n 是来自总体的一个样本，显然它们具有 相同的分布律，从而有相同的期望和方差．故        n 2 2 i i=1 1 = EX - nEX n -1

例2证明（3）未修正的样本方差S?是总体方差8的一个渐近无偏估计证明设X,X,,X,是来自总体的一个样本，显然它们具有相同的分布律，从而有相同的期望和方差．故n-n-ES2ES? = Ennnlim Es?二0nn-→8所以S是的渐近无偏估计，沈阳师范大学ShenYangNoemal Univen

例2 证明 2 2 . n (3)未修正的样本方差S 是总体方差 的一个 渐近无偏估计 2 2 1 n n ES E S n   − =     2 2 lim n n ES  → = 所以 2 n S 是 2  的渐近无偏估计． 证 明 设 1 2 , , , X X X n 是来自总体的一个样本，显然它们具有 相同的分布律，从而有相同的期望和方差．故 n n 1 1 2 2 ES n n  − − = =